Математика jul_2024_10_3: Степінь з раціональним показником | Smartosvita LMS

Степінь з раціональним показником

Ти вже знаєш, який зміст має вираз $a^n$ , де $a \neq 0$ , якщо показник $n$ — ціле число. Наприклад, $2^4=2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2$ ; $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)$ ; $5^{-3}=\frac{1}{5^3}$ ; $7^0=1$ ; $4,3^1=4,3$ , тобто степінь $a^n$ існує при довільному цілому $n$ і дійсному $a \neq 0$ .

Який зміст має степінь $a^{\frac{m}{n}}$ з довільним раціональним показником $\frac{m}{n}$ ?

За означенням степінь $a^r=a^{\frac{m}{n}}$ існує за будь-якого дробового показника $r=\frac{m}{n}$ , якщо основа $a > 0$ . Якщо $n$ — парне число, то степінь $a^{\frac{m}{n}}$ має зміст, якщо $a^m≥0$ ; якщо $n$ — непарне число, то вираз $a^{\frac{m}{n}}$ має зміст за будь-якої основи $a \neq 0$ .

Наприклад,
$2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{2^5}=4\sqrt{2}$ ;
$(-5)^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{(-5)^3}=\sqrt[4]{-125}$ не існує;
$(-243)^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{(-243)^3}=\sqrt[5]{(-3)^{15}}=(-3)^3=-27$ .

Cформульоване означення степеня з раціональним показником зберігає основні властивості степеня із цілим показником.

Джерело:

М.І. Бурда,Т.В. Колесник,Ю.І. Мальований, Н.А. Тарасенкова. Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія): підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/402-matematika-burda-kolesnik-malovaniy-tarasenkova-10-klas.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.