Математика jul_2024_10_3: Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня | Smartosvita LMS

Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня

Нагадаємо, що квадратним коренем із числа $a$ називають таке число, квадрат якого дорівнює $a$ .

Наприклад, числа $4$ і $-4$ — квадратні корені із числа $16$ , бо $4^2 = 16$ і $(-4)^2 = 16$ ; $0$ — квадратний корінь із числа $0$ , оскільки $0^2 =0$ ; квадратного кореня із числа $-9$ не існує, бо немає числа, квадрат якого дорівнює $-9$ .

Квадратний корінь називають ще коренем другого степеня. Подібно до коренів другого степеня існують також корені третього, четвертого, …, $n$ -го степеня.

Коренем $n$ -го степеня з числа $a$ називають число, $n$ -й степінь якого дорівнює $a$ .

Наприклад, корінь третього степеня із числа $64$ дорівнює $4$ , оскільки $4^3 = 64$ . Числа $3$ і $-3$ є коренями четвертого степеня із числа $81$ , бо $3^4 = 81$ і $(-3)^4 = 81$ . Коренем п’ятого степеня із числа $-32$ є число $-2$ , оскільки $(-2)^5 = -32$ .

Як і для квадратного кореня, для кореня $n$ -го степеня розглянемо поняття арифметичного кореня. Нагадаємо, що арифметичним квадратним коренем із числа $a$ називають таке невід’ємне число, квадрат якого дорівнює $a$ .

Невід’ємний корінь $n$ -го степеня з невід’ємного числа $a$ називають арифметичним коренем $n$ -го степеня з числа $a$ .

При $a ≥ 0$ для арифметичного значення кореня $n$ -го степеня з числа $a$ існує спеціальне позначення: $\sqrt[n]{a}$ , де $a$ — підкореневий вираз, $\sqrt[ ]{ }$ — знак кореня, $n$ — показник кореня. Залежно від показників корені бувають другого, третього і вищих степенів. Показник кореня — завжди число натуральне.

Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа $27$ дорівнює $3$ (оскільки $3^3=27$ і $3≥0$ ), записують так: $\sqrt[3]{27}=3$ ; те, що корінь четвертого степеня із $16$ дорівнює $2$ (оскільки $2^4=16$ і $2≥0$ ), записують так: $\sqrt[4]{16}=2$ . Але для запису того, що корінь четвертого степеня із $16$ дорівнює $-2$ , позначення немає.

При $a < 0$ значення кореня $n$ -го степеня з числа а існує тільки при непарних значеннях $n$ (оскільки не існує такого дійсного числа, парний степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарного степеня $n$ із числа $a$ теж позначають $\sqrt[n]{a}$ . Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа $-27$ дорівнює $-3$ (бо $(-3)^3=27$ ), записують так: $\sqrt[3]{-27} =-3$ . Оскільки $-3$ — від’ємне число, то $\sqrt[3]{-27}$ не є арифметичним значенням кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичне значення кореня за допомогою формули $\sqrt[2k+1]{-a}=- \sqrt[2k+1]{a}$ .

Зазначимо також, що значення $\sqrt[2k+1]{a}$ має той самий знак, що й число $a$ , оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не змінюється.

Отже,

якщо $a ≥ 0, n \in N, n ≥ 2$ , то вираз $\sqrt[n]{a}$ означає арифметичний корінь $n$ -го степеня із числа $a$ ;

якщо $a < 0$ , то при непарному $n$ вираз $\sqrt[n]{a}$ означає корінь $n$ -го степеня із числа $a$ , а при парному $n$ цей вираз не має змісту.

Доходимо висновку, що вираз $\sqrt[n]{a}$ при парному $n$ має зміст лише для $a ≥ 0$ , при непарному $n$ — для будь-якого значення $a$ .

Також за означенням кореня n-го степеня можна записати, що в тому випадку, коли існує значення $\sqrt[n]{a}$ , виконується рівність $(\sqrt[n]{a})^n=a$ .

Обчислення значень коренів n-го степеня з чисел називають добуванням коренів із цих чисел.

Джерела:
1. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1169-algebr-bevz-10-klas.html
2. Є.П. Нелін. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/427-algebra-neln-10-klas.html
3. О.С. Істер, О.В. Єргіна. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1223-algebra-10-klas-ister.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.