Математика jul_2024_10_3: Розв’язки рівняння x^n=a | Smartosvita LMS

Розв’язки рівняння x^n=a

З означення кореня $n$ -го степеня випливає, що добути корінь $n$ -го степеня з дійсного числа $a$ — це все одно, що знайти дійсні розв’язки рівняння: $x^n = a, ~n \in N$ .

Розв’яжемо його графічно. Нехай у рівнянні $x^n = a$ маємо випадок, коли $n$ — парне.

Побудуємо графіки функцій $y = x^n$ , $n$ — парне, і $y = a$ .

Бачимо, що якщо $a > 0$ , то графіки перетинатимуться у двох точках, тобто рівняння $x^n = a$ матиме два корені.

Оскільки $(\sqrt[n]{a})^n=a$ і $(-\sqrt[n]{a})^n=a$ , то $x_1=\sqrt[n]{a}$ і $x_2 = -\sqrt[n]{a}$ — корені рівняння $x^n = a$ у випадку парного $n$ .

Якщо $a = 0$ , то рівняння $x^n = 0$ має єдиний корінь — число $0$ .

Якщо $a < 0$ , при парному $n$ рівняння $x^n = a$ коренів не має.

Нехай $n$ — непарне. Тоді для будь-якого $а$ рівняння $x^n = a$ має єдиний корінь.

Оскільки $(\sqrt[n]{a})^n=a$ , то $x=\sqrt[n]{a}$ — єдиний корінь рівняння $x^n = a$ , коли $n$ — непарне.

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння $x^n = a$ у вигляді схеми.

Джерело: О.С. Істер, О.В. Єргіна. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1223-algebra-10-klas-ister.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.