Математика jul_2024_10_3: Властивості кореня n-го степеня. Перетворення виразів, що містять корені | Smartosvita LMS

Властивості кореня n-го степеня. Перетворення виразів, що містять корені

Розглянемо без доведення властивості арифметичних коренів $n$ -го степеня ( $n > 1$ — натуральне число), які узагальнюють відомі властивості квадратного кореня.

1. Якщо $a ≥ 0$ , $b ≥ 0$ , то $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ . Корінь $n$ -го степеня з добутку невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів із цих чисел.

Наприклад, $\sqrt[3]{8 \cdot 27}=\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$ .

Наведена властивість є правильною для будь-якої скінченної кількості невід’ємних чисел. Наприклад, якщо $a ≥ 0$ , $b ≥ 0$ і $c ≥ 0$ , то $\sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{(ab)c}=\sqrt[n]{ab}\sqrt[n]{c}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\sqrt[n]{c},$ тобто $\sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\sqrt[n]{c}$ .

Очевидно, що вираз $\sqrt[n]{ab}$ при парному $n$ має зміст, коли $ab≥0$ , тобто коли числа $a$ і $b$ — одного знака, а значить, і тоді, коли $a$ і $b$ — від’ємні. У такому випадку рівність набуває вигляду $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{-a}\sqrt[n]{-b}$ . Отже, $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{|a|}\sqrt[n]{|b|}$ , якщо $ab≥0$ і $n$ — парне.

Якщо в рівності $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ поміняти місцями ліву і праву частини, матимемо тотожність: $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ , де $a ≥ 0$ , $b ≥ 0$ . Добуток коренів $n$ -го степеня з невід’ємних чисел дорівнює кореню $n$ -го степеня з добутку цих чисел.

Наприклад, $\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{4 \cdot 8} = \sqrt[5]{32} = 2$ .

2. Якщо $a ≥ 0$ , $b > 0$ , то $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ . Корінь $n$ -го степеня з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника.

Наприклад, $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}$ .

Очевидно, що корінь із частки при парному $n$ має зміст, коли $ab≥0$ , $b \neq 0$ , отже, і тоді, коли $a ≤ 0$ , $b < 0$ . У цьому випадку $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{-a}}{\sqrt[n]{-b}}$ . Отже, якщо $ab≥0$ , $b \neq 0$ і $n$ — парне, то $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}}$ .

Якщо в рівності $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ поміняти місцями ліву і праву частини, матимемо тотожність: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ , де $a ≥ 0$ , $b > 0$ . Частка, чисельник якої — корінь $n$ -го степеня з невід’ємного числа, а знаменник — корінь $n$ -го степеня з додатного числа, дорівнює кореню $n$ -го степеня із частки цих чисел.

Наприклад, $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}=\sqrt[5]{\frac{486}{2}}=\sqrt[5]{243}=3$ .

3. Для будь-якого $a \in R$ і $n \in N$ , $n≥2$ маємо:

$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}|a|, & \text{якщо}\, n \, -\, \text{парне}, \\ a, & \text{якщо}\, n \, -\, \text{непарне}. \end{cases}$

Наприклад, $\sqrt[5]{7^5}=7$ , $\sqrt[4]{(-2)^4} =|-2|=2$ .

4. Якщо $n > 1$ , $k > 1$ — натуральні числа і $a ≥ 0$ , то $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$ . Корінь $n$ -го степеня з кореня $k$ -го степеня невід’ємного числа $a$ дорівнює кореню $nk$ -го степеня із цього числа.

Наприклад, $\sqrt[4]{\sqrt[7]{2}}=\sqrt[28]{2}$ .

5. Якщо $n > 1$ , $k$ і $m$ — натуральні числа і $a ≥ 0$ , то $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$ . Якщо показник кореня й показник степеня підкореневого виразу помножити або поділити на одне й те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться.

Якщо $n$ — парне число, то вираз $\sqrt[nk]{a^{mk}}$ має зміст при будь-якому дійсному $a$ , і тоді для будь-якого $a$ має місце рівність: $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{|a|^m}$ .

Домовимося, що корінь першого степеня із числа $a$ дорівнює числу $a$ . Це дозволяє використовувати тотожність $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$ і у випадку, коли $n = 1$ .

Наприклад, $\sqrt[8]{3^6}=\sqrt[4]{3^3}$ .

Властивість $5$ іноді називають основною властивістю арифметичного кореня.

6. Якщо $n > 1$ , $k > 1$ — натуральні числа і $a ≥ 0$ , то $(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}$ . Щоб піднести корінь $n$ -го степеня до степеня $k$ , достатньо піднести до цього степеня підкореневий вираз.

Наприклад, $(\sqrt[6]{8})^2=\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[6]{64}=2$ .

7. Якщо $0 ≤ a < b$ , то $\sqrt[n]{a}< \sqrt[n]{b}$ .

Наприклад, порівняємо числа $\sqrt[5]{4}$ і $\sqrt[3]{3}$ . Зведемо корені до одного показника, користуючись основною властивістю арифметичного кореня: $\sqrt[5]{4}=\sqrt[15]{64}$ , $\sqrt[3]{3}=\sqrt[15]{243}$ , тобто $\sqrt[5]{4}\lt\sqrt[3]{3}$ .

Властивість $7$ надає можливість порівнювати арифметичні корені.

Властивості арифметичного кореня $n$ -го степеня використовують для тотожних перетворень виразів: винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня, звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу, спрощення ірраціональних виразів.

1. Винесення множника з-під знака кореня. У виразах, що містять корені $n$ -го з-під знака кореня степеня, як і у виразах, що містять арифметичні квадратні корені, також можна виносити множник з-під знака кореня, використовуючи при цьому властивість кореня $n$ -го степеня з добутку.

Задача. Винеси множник з-під знака кореня: $\sqrt[4]{324}$ .

Розв’язання. Виконуючи цю дію, підкореневий вираз слід подати у вигляді добутку множників, з яких (одного або кількох) можна добути корінь. $\sqrt[4]{324}=\sqrt[4]{81 \cdot 4}=\sqrt[4]{3^4 \cdot 2^2}=3\sqrt{2}$ .

2. Внесення множника під знак кореня. Розглядаючи перетворення винесення множника з-під знака кореня у зворотному порядку, отримаємо перетворення, яке називають внесенням множника під знак кореня.

Задача. Внеси множник під знак кореня: $-2 \cdot \sqrt[4]{8}$ .

Розв’язання. Вносячи множник під знак кореня, треба піднести його до степеня, який дорівнює показнику кореня, і записати як множник під знаком кореня. $-2 \cdot \sqrt[4]{8}=-1 \cdot 2 \sqrt[4]{8}=-\sqrt[4]{2^4 \cdot 8}=-\sqrt[4]{16 \cdot 8}=-\sqrt[4]{128}$ .

3. Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу. Нагадаємо, що звільнитися від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробу означає виконати такі перетворення цього дробу, щоб його знаменник (чисельник) не містив знака кореня.

Задача. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

Розв’язання. Звільняючись від ірраціональності в знаменнику дробу, необхідно чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число або вираз, відмінний від нуля. $\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ .

Джерела:
1. О.С. Істер, О.В. Єргіна. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1223-algebra-10-klas-ister.html
2. М.І. Бурда,Т.В. Колесник,Ю.І. Мальований, Н.А. Тарасенкова. Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія): підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/402-matematika-burda-kolesnik-malovaniy-tarasenkova-10-klas.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.