Математика jul_2024_9_5: Теорема косинусів | Smartosvita LMS

Теорема косинусів

Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора на довільні трикутники. Вона дозволяє знайти сторону трикутника, якщо відомі дві інші сторони і кут між ними. Згідно з цією теоремою квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін, помноженого на косинус кута між цими сторонами.

Нехай у довільному трикутнику $ABC$ навпроти кутів $A$ , $B$ , $C$ лежать сторони $a$ , $b$ , та $c$ відповідно.

Тоді за теоремою косинусів маємо:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A;$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B;$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.$

У випадку, коли потрібний кут є тупим, скористаємося формулою:

$\cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha.$

Задача. Знайди довжину сторони $BC$ трикутника $ABC$ , якщо $\angle BAC = 60^\circ$ , $AB=5$ см, а $AC=8$ см.

Розв’язання. Запишемо теорему косинусів для сторони $BC$ :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cdot cos∠ BAC.$

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos60 ^\circ= 25 + 64 - 80 \cdot 0,5=25 + 64 - 40=49.$

Отже, $BC =\sqrt 49= 7$ см.

Відповідь: $7$ см.

_{Теорію розробила Грибель Ольга з використанням ChatGPT-3.5.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.