Математика jul_2024_7_9: Обов’язкове. Розв’язування систем способом додавання | Smartosvita LMS

Обов’язкове. Розв’язування систем способом додавання

Що таке метод додавання?

Приклад 1. Спробуймо розв’язати систему рівнянь: $\begin{cases} 2y+7x = -5\\ 5y-7x = 12 \end{cases}$ .
Бачимо, що перше рівняння містить доданок $7x$ , а друге рівняння містить доданок $-7x$ . Ці доданки зникнуть, якщо ми додамо почленно ліві й праві частини рівнянь:

$\begin{aligned} 2y+\color{red}{7x} &= -5 \\ +~5y\color{red}{-7x}&=12\\ \hline\\ 7y+0 &=7 \end{aligned}$

Розв’язавши рівняння відносно $y$ , отримаємо: $\begin{aligned} 7y+0 &=7\\ 7y &=7\\ y &=\color{gold}{1} \end{aligned}$

Підставивши це значення назад у перше рівняння, знайдемо іншу змінну:

$\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\ 2\cdot \color{gold}{1}+7x &= -5\\ 2+7x&=-5\\ 7x&=-7\\ x&=\color{blue}{-1} \end{aligned}$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(\color{blue}{-1}; \color{gold}{1})$ .

Приклад 2. Спробуймо розв’язати систему рівнянь $\begin{cases} -9y+4x=20\\ -7y+16x=80 \end{cases}$ .

Ми можемо помножити перше рівняння на $-4$ , щоб отримати еквівалентне рівняння з доданком $\color{purple}{-16x}$ . Наша нова (але еквівалентна!) система рівнянь має такий вигляд:

$\begin{aligned} 36y\color{purple}{-16x}=-80\\ -7y+16x=80 \end{aligned}$

Додамо рівняння, щоб виключити змінну $x$ :

$\begin{aligned} 36y-\color{red}{16x} +80&=0 \\ {+}~-7y+\color{red}{16x}-80&=0\\ \hline \\ 29y+0 -0&=0 \end{aligned}$

Розв’язавши рівняння відносно $y$ , отримаємо:

$\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\ 29y&=0 \\ y&=\color{gold} 0 \end{aligned}$

Підставивши це значення в перше рівняння, ми знайдемо іншу змінну:

$\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\ -16x+80&=0\\ -16x&=-80\\ x&=\color{blue}{5} \end{aligned}$

Пара чисел $(\color{gold} 0; \color{blue}{5})$ — розв’язок системи.

_{Текст адаптувала Дубей Наталія}
_{з платформи Khan Academy.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.