Математика jul_2024_10_3: Степеневі функції з раціональним показником_к | Smartosvita LMS

Степеневі функції з раціональним показником_к

Функцію вигляду $y=x^{\alpha}$ , де $\alpha$ — деяке стале число, називають степеневою.

Наприклад, $y=x^{3}, y=x^{0,2}, y=x^{-\frac{1}{3}}$ — степеневі функції. Властивості степеневих функцій та вигляд їх графіків залежать від виду числа $\alpha$ . Розглянемо степеневу функцію для різних видів числа $\alpha$ , уважаючи $\alpha$ раціональним числом.

На попередніх заняттях ви розглядали випадки, коли $\alpha$ — ціле число. Сьогодні ж ми розглянемо випадок, коли $\alpha$ — не ціле число.

У випадку, коли $\alpha$ — додатне, але не ціле число, областю визначення функції є проміжок $[0; \quad+\infty)$ . Оскільки область визначення не є симетричною відносно нуля, то функція є ні парною, ні непарною. На рисунку нижче зображено графіки функцій $y=x^{\frac{3}{4}}$ і $y=x^{\frac{4}{3}}$ та для наочності їх взаємного розташування — графік функції $y=x$ .

На рисунку нижче зображено графік функції $y=x^{\alpha}$ , якщо $0$ .

На наступному рисунку — якщо $\alpha>1$ , де $\alpha$ — не ціле число. У кожному із цих випадків функція є зростаючою на проміжку $[0; +\infty)$ .

У випадку, коли $\alpha$ — не ціле від’ємне число, областю визначення функції є проміжок $(0; +\infty)$ . Функція ні парна, ні непарна.

На рисунку зображено графік функції $y=x^{-\frac{2}{3}}$ .

На рисунку нижче схематично зображено графік функції $y=x^{\alpha}\(, де \(\alpha$ — не ціле. Функція в цьому випадку спадає на $( 0;+\infty)$ .

Узагальнимо всі згадані вище властивості функції $y=x^{\alpha}$ у вигляді таблиць.

Джерело:

1. О.С. Істер, О.В. Єргіна. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1223-algebra-10-klas-ister.html

2. https://www.slideshare.net/slideshow/10-72323838/72323838?from_action=download&slideshow_id=72323838

Метод оцінювання: Краща оцінка.