Математика jul_2024_10_3: Метод заміни_к | Smartosvita LMS

Метод заміни_к

Метод заміни — це один із методів спрощення ірраціональних рівнянь, особливо тих, які містять корені вищих степенів.

Приклад 1. Розв’язати рівняння $\sqrt{\frac{3 x^{2}+x}{x^{2}-1}}-2 \sqrt{\frac{x^{2}-1}{3 x^{2}+x}}=1$ .

Зробимо заміну $\sqrt{\frac{3 x^{2}+x}{x^{2}-1}}=t, t>0$ .

Отримаємо рівняння $t-\frac{2}{t}=1$ .

Помножимо обидві частини отриманого рівняння на $t \neq 0$ .

$9t^{2}-t-2=0$

$\left[\begin{array}{l}t=2, \\ t=-1; \text { не задовольняє умову } t>0.\end{array}\right.$

Отже, $\sqrt{\frac{3 x^{2}+x}{x^{2}-1}}=2$

$\frac{3 x^{2}+x}{x^{2}-1}=4$

$\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+x=4 x^{2}-4 \\ x^{2}-1 \neq 0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x-4=0 \\ x \neq \pm 1\end{array}\right.$

$x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ .

Оскільки всі виконані перетворення були рівносильними, то перевірку можна не робити.

Biдnoвiдь: $x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ .

Приклад 2. Розв’язати рівняння $\sqrt{x^{2}-3 x+5}+x^{2}=3 x+7$ .

$\begin{aligned} & \sqrt{x^{2}-3 x+5}=-x^{2}+3 x+7 \\ & \sqrt{x^{2}-3 x+5}=-\left(x^{2}-3 x\right)+7 \end{aligned}$ .

Зробимо заміну $x^{2}-3 x=t$ , отримаємо і розв’яжемо рівняння

$\sqrt{t+5}=-t+7 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { - t + 7 \geq 0 , } \\ { t + 5 = ( - t + 7 ) ^ { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -t \geq-7, \\ t^{2}-15 t+44=0 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right.$

Отже, $x^{2}-3 x=4 \Leftrightarrow x^{2}-3 x-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=4, \\ x=-1 .\end{array}\right.$

Відповідь: $-1 ; 4$ .

Приклад 3. Розв’язати рівняння $\sqrt{x^{2}+32}-2 \sqrt[4]{x^{2}+32}=3$ .

$\left(\sqrt[4]{x^{2}+32}\right)^{2}-2 \sqrt[4]{x^{2}+32}=3$ .

Зробимо заміну $\sqrt[4]{x^{2}+32}=t, t>0$ , отримаємо і розв’яжемо квадратне рівняння:

$t^{2}-2 t-3=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} t=3, \\ t=-1 ; \text { сторонній корінь, не задовольняє умову } t>0. \end{array}\right.$

Отже, $\sqrt[4]{x^{2}+32}=3 \Leftrightarrow x^{2}+32=81 \Leftrightarrow x^{2}=49 \Leftrightarrow x= \pm 7$ .

Bidnoвідь: $-7; 7$ .

Джерело: Математика. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх сис- М 34 теми : практикум / уклад. : Н.П. Муранова, Л.А. Харченко, Г.В. Шевченко, О.С. Муранов. – 2-е вид., стер. – К. : НАУ, 2012. – 96 с

Метод оцінювання: Краща оцінка.