Математика jul_2024_10_3: Формули зведення | Smartosvita LMS

Формули зведення

Формули зведення — це формули перетворення тригонометричних функцій кута, за допомогою яких тригонометричні функції від аргументів виду $\pi k \pm \alpha$ і $(2k+1) \frac{\pi}{2} \pm α$ , де $k \in Z$ , зводяться до тригонометричних функцій від аргументу $\alpha$ .

Всі формули зведення подано в таблиці:

Однак запам’ятати всі ці формули досить важко та й не потрібно. Простіше їх вивести.

При вертикальному діаметрі $( \frac{\pi}{2}$ або $\frac{3\pi}{2} )$ функція міняється на протилежну і має той знак, що початкова функція у даній чверті; при горизонтальному діаметрі $( \pi$ або $2\pi )$ — залишається тією ж.

Приклад 1.

Обчисли: $tg 225^ \circ$ .

Розв’язання.

Запишемо $tg 225^ \circ$ у вигляді $tg ( 270^ \circ - 45^ \circ )$ .

Оскільки в дужках маємо $270^ \circ - 45^ \circ$ , то функцію змінюємо на протилежну ( $ctg$ ). Тепер глянемо знак початкової функції ( $tg$ ) в даній чверті.

Кут $225^ \circ$ належить третій чверті. Бачимо з рисунка, що тангенс у цій чверті додатний. Отже, маємо:

$tg 225^ \circ = tg ( 270^ \circ - 45^ \circ ) = ctg 45^ \circ = 1$ .

Приклад 2.

Обчисли: $cos( -480^ \circ)$ .

Розв’язання.

Спочатку віднімемо період косинуса, а саме $2 \pi$ , тобто $360 ^ \circ$ :

$cos( -480^ \circ) = cos480^ \circ = cos(360^ \circ + 120^ \circ) = cos 120^ \circ$ .

Тепер подамо $cos 120^ \circ$ у вигляді $cos( 90^ \circ + 30^ \circ)$ .

Оскільки маємо $( 90^ \circ + \alpha)$ , то функцію змінюємо на протилежну.

Косинус в даній чверті від’ємний, отже, маємо:

$cos( 90^ \circ + 30^ \circ) = -sin 30^ \circ =- \frac{1}{2}$ .

Приклад 3.

Обчисли $tg 135 ^ \circ$ .

Розв’язання.

Запишемо $tg 135 ^ \circ$ у вигляді $tg ( 180 ^ \circ - 45 ^ \circ)$ .

Оскільки маємо горизонтальний діаметр ( $180 ^ \circ )$ , то функцію залишаємо без змін. Тангенс у даній чверті від’ємний.

Маємо: $tg 135^ \circ = tg (180^ \circ - 45 ^ \circ) = - tg 45^ \circ = -1$ .

Джерела:
1. О. Істер. Математика: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/430-algebra-proflniy-rven-merzlyak-10-klas.html

2. Алгебра і початки аналізу: проф. рівень : підруч. для 10 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2018. — 400 с. : іл. ISBN 978-966-474-311-9. URL:https://pidruchnyk.com.ua/430-algebra-proflniy-rven-merzlyak-10-klas.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.