Математика jul_2024_10_3: Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу | Smartosvita LMS

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Основна тригонометрична тотожність

За теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів: $x^2+y^2=1^2$ .

Також, оскільки $x=\cos \alpha$ і $y=\sin \alpha$ , отримуємо основну тригонометричну тотожність:

$cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$ .

Приклад. Знайди $cos \alpha$ , якщо $sin \alpha = - \frac{7}{25}$ і $\pi < \alpha < \frac{ 3 \pi}{2}$ .

Розв’язання.

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (- \frac{7}{25} )^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$ . Оскільки $\pi < \alpha < \frac{ 3 \pi}{2}$ , то $cos \alpha < 0$ , отже $cos \alpha = - \sqrt{ \frac{576}{625} } = - \frac{24}{25}$ .

Наслідки з основної тригонометричної тотожності:

$1+\operatorname{tg}^2\alpha= \frac{1}{\cos^2 \alpha},$

$1+\operatorname{ctg}^2\alpha= \frac{1}{\sin^2 \alpha}.$

Інші тригонометричні тотожності:

$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha= 1,$

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} \,\, \text{та} \,\, \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}.$

Джерела:
1. https://pidruchnyk.com.ua/430-algebra-proflniy-rven-merzlyak-10-klas.html
2. https://www.mathsisfun.com/geometry/unit-circle.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.