Математика jul_2024_9_5: Сума n перших членів арифметичної прогресії | Smartosvita LMS

Сума n перших членів арифметичної прогресії

Пригадаємо, що арифметична прогресія — це послідовність чисел, де різниця між будь-якими двома послідовними членами є сталою. Наприклад, послідовність $2, 5, 8, 11, …$ є арифметичною прогресією, де кожен наступний член більший за попередній на $3$ .

Дуже часто в задачах на арифметичну прогресію потрібно знайти суму декількох перших членів прогресії. Для цього використовують формулу суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n,$

де

$𝑆_𝑛$ — сума перших $𝑛$ членів прогресії;

$𝑛$ — кількість перших членів, суму яких потрібно знайти;

$𝑎_1$ — перший член прогресії;

$𝑎_𝑛$ — $n$ -й член прогресії.

Задача:

На шкільних канікулах Марійка вирішила читати книги. У перший день вона прочитала $12$ сторінок, а кожного наступного дня збільшувала кількість прочитаних сторінок на одне і те саме число. Скільки всього сторінок вона прочитає за $15$ днів, якщо вона планує прочитати $96$ сторінок на п’ятнадцятий день?

Розв’язання. За умовою задачі: $a_1=12$ сторінок, $a_{15}=96$ сторінок, $n = 15$ днів. Підставивши дані значення у формулу $S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$ , отримуємо:

$S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot15 =\frac{108}{2}\cdot15= 54\cdot15=810.$

Отже, за $15$ днів Марійка прочитає $810$ сторінок.

Якщо пригадати, що $a_n=a_1+d(n−1)$ і підставити праву частину даної рівності в попередню формулу, то отримуємо другу формулу для обчислення cуми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2} \cdot n=\frac{2 a_1+d(n-1)}{2} \cdot n,$

де $𝑆_𝑛$ — сума перших $𝑛$ членів прогресії;

$𝑛$ — кількість перших членів, суму яких потрібно знайти;

$𝑎_1$ — перший член прогресії;

$d$ — різниця арифметичної прогресії.

Цю формулою зручно використовувати у випадку, коли задано перший член та різницю прогресії.

Задача:

Надихнувшись прикладом Марійки, Миколка теж вирішив присвятити час читанню книг під час шкільних канікул. У перший день він прочитав $20$ сторінок, а кожного наступного дня він читав на $5$ сторінок більше, ніж у попередній. Скільки всього сторінок він прочитає за $15$ днів?

Розв’язання. За умовою задачі: $a_1=20$ сторінок, $d = 5$ сторінок, $n = 15$ днів. Підставивши дані значення у формулу $S_n=\frac{2 a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$ , отримуємо:

$S_{15}=\left(\frac{2\cdot20+5\cdot (15-1)}{2}\right)\cdot15 =(20+35)\cdot15= 55\cdot15=825.$

Отже, за $15$ днів Миколка прочитає $825$ сторінок.

_{Теорію розробила Грибель Ольга з використанням ChatGPT-3.5.}
_{Картинку до прикладів згенерував}
_{Чоп'юк Юрій в ChatGPT 4o.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.