Математика jul_2024_9_5: Арифметична прогресія | Smartosvita LMS

Арифметична прогресія

Уяви, що ти спостерігаєш за зміною температури протягом $5$ годин. Відомо, що початкова температура о $9:00$ дорівнює $1 ^\circ C$ , а кожну наступну годину температура збільшується на $3 ^\circ C$ . У результаті спостереження ти отримаєш таку послідовність температур:

$1,4,7,10,13,16$

Ця послідовність температур є прикладом арифметичної прогресії, оскільки кожна наступна температура отримується шляхом додавання одного й того ж числа числа ( $3 ^\circ C$ ) до попередньої температури.

Арифметична прогресія — це один із видів послідовностей, де кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії та позначають буквою $d$ . У нашому прикладі різниця $d$ дорівнює ( $3 ^\circ C$ ).

Різницю арифметичної прогресії можна знайти, якщо від будь-якого члена прогресії, починаючи з другого, відняти попередній. Наприклад, у послідовності $21, 16, 11, 6 ...$ різниця $d$ дорівнює $−5$ , оскільки $16 − 21 = 11 − 16 = 6 − 11 = … = −5$ . Ця властивість допомагає нам легко впізнавати арифметичні прогресії та знаходити їх різницю.

$n$ -й член арифметичної прогресії (член прогресії під $n$ -ним номером) можна знайти за формулою:

$a_n=a_1+d(n−1)$

де

$a_n$ — $n$ -й член арифметичної прогресії, який ми хочемо знайти;

$a_1$ — перший член арифметичної прогресії;

$d$ — різниця арифметичної прогресії.

Користуючись формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії, ми можемо знайти температуру повітря о $14:00$ , що відповідає п’ятій годині спостереження.

Згідно з умовою спостереження, початкова температура дорівнює $1 ^\circ C$ , тобто $a_1 = 1$ , а зміна температури дорівнює $3 ^\circ C$ , тобто $d = 3$ . Підставивши дані значення у формулу $n$ -го члена, отримаємо:

$𝑎_5=1+(5−1)⋅3=1+4⋅3=1+12=13$

Отже, о $14:00$ температура дорівнюватиме $13 ^\circ C$ .

Розглянь ще один приклад.

Задача.

Компанія «Медісон Електрик» у свій перший рік існування заробила $200 000$ доларів, а починаючи з другого року, її доходи збільшувалися на $30 000$ доларів щороку. Скільки грошей заробила компанія за восьмий рік свого існування?

Розв’язання. Річні заробітки компанії утворюють арифметичну прогресію з першим членом $a_1=200 000$ і різницею $d=30000$ . Щоб знайти заробіток компанії за восьмий рік (n = 8), скористаємося формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:

$a_8=200000+30000(8−1)=410000$

Отже, за восьмий рік компанія заробила $410 000$ доларів.

Таким чином, арифметична прогресія — це цікавий і корисний математичний об’єкт, який допомагає моделювати різні явища в природі та житті.

_{Картинку до прикладу згенерував}
_{Чоп'юк Юрій в ChatGPT 4o}
_{Текст розробила Наталія Дубей}
_{з використанням ChatGPT-3.5.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.