Математика jul_2024_9_5: Квадратні нерівності з однією змінною | Smartosvita LMS

Квадратні нерівності з однією змінною

Квадратні нерівності — це нерівності, які містять квадратні вирази. Тобто нерівності виду $ax^2+bx+c>0$ , $ax^2+bx+c$ , $ax^2+bx+c \geq 0$ та $ax^2+bx+c \leq 0$ , де $x$ — змінна, $a$ , $b$ і $c$ — деякі числа, причому $a \neq 0$ , є квадратними нерівностями.

Як розв’язувати квадратні нерівності з однією змінною?

Крок 1: Упорядкуй нерівність
На цьому кроці переконайся, що нерівність упорядкована, тобто всі наявні доданки знаходяться з лівого боку від знака нерівності, а з правого боку знаходиться тільки нуль. Наприклад, перетворимо нерівність $x^2 - 2x ≤ 3x-6$ на $x^2 - 2x -3x+ 6 ≤ 0$ .

Крок 2: Спрости нерівність
На цьому кроці зведи подібні доданки в обох частинах нерівності. Після зведення подібних доданків твоя нерівність буде записана у стандартному вигляді, тобто у вигляді $ax^2 + bx + c > 0$ (або $< 0$ , $≤ 0$ , $≥ 0$ ). Повернувшись до нашого прикладу, отримаємо: $x^2 - 5x + 6 ≤ 0$ .

Крок 3: Знайди корені відповідного квадратного рівняння
На цьому кроці поміняй знак нерівності на знак рівності та розв’яжи відповідне квадратне рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ . Це можна зробити за допомогою дискримінанта $D=b^2-4ac$ :

Якщо $D > 0$ , то рівняння має два різні корені: $x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a}$ та $x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}$ ;

Якщо $D = 0$ , то рівняння має один дійсний корінь: $x=-\frac{b}{2 a}$ ;

Якщо $D < 0$ , рівняння не має дійсних коренів, що означає, що квадратичний вираз завжди додатний або завжди від’ємний.

У нашому прикладі нам потрібно розв’язати рівняння $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Дискримінант даного рівняння $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ , що означає, що рівняння має два корені. Скориставшись формулою коренів квадратного рівняння, отримаємо $x_1 = 2$ і $x_2 = 3$ .

Крок 4: Побудуй схематичний графік параболи
На цьому кроці познач знайдені корені квадратного рівняння на координатній прямій та побудуй схематично параболу, яка проходитиме через знайдені корені. Нагадаємо, що якщо $a > 0$ , то парабола «посміхається» (гілки напрямлені вгору), а якщо $a < 0$ , то парабола «сумує» (гілки напрямлені вниз). Зауважимо, що у випадку, коли квадратне рівняння не має розв’язків, ти не зможеш позначити корені на числовій прямій (бо їх немає), але ти зможеш побудувати параболу. У такому випадку ця парабола не буде перетинати числову вісь. У нашому випадку потрібно позначити на числовій прямій точки $x = 2$ і $x = 3$ та провести через ці точки параболу вітками вгору, оскільки коефіцієнт при $x^2$ є додатним.

Крок 5: Запиши розв’язок нерівності
Після того, як ти побудував(-ла) схематичне зображення параболи, тобі залишається правильно прочитати розв’язки нерівності з твого рисунка і записати відповідь. Для цього врахуй, що в точках на числовій прямій значення квадратного тричлена дорівнює нулю, вище числової прямої квадратний тричлен є додатним, а нижче — від’ємним.

Дотримуйся цих кроків під час розв’язування квадратних нерівностей, і ти зможеш впоратися з будь-якою квадратною нерівністю. І пам’ятай, що практика має вирішальне значення, тому не зволікай і починай тренуватися вже зараз.

Пригадаємо, що ми розв’язуємо нерівність $x^2 - 5x + 6 ≤ 0$ . Тому нам потрібно у відповідь записати всі значення $x$ , для яких вираз $x^2 - 5x + 6$ є від’ємним або дорівнює нулю, тобто ті значення $x$ , де парабола знаходиться нижче числової прямої або де парабола перетинає числову пряму. З рисунка видно, що $x \in [2, 3]$ , що і є розв’язком нашої нерівності.

_{Текст розробила Грибель Ольга}_{з використанням ChatGPT-4.0.}_{Картинку до тексту створила}_{Грибель Ольга в Paint.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.

Accessibility

Background Colour

Font Face

Font Kerning

Font Size

1

Image Visibility

Letter Spacing

0

Line Height

1.2

Link Highlight

Text Colour