Математика jul_2024_8_8: Теорема Піфагора | Smartosvita LMS

Теорема Піфагора

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо позначити в $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90°$ ) $BC = a$ , $AC = b$ , $AB = c$ , то

теорему Піфагора можна записати формулою:

$c^2= a^2 + b^2$ .

Теорема Піфагора — одна з найцікавіших і найважливіших теорем геометрії.

За допомогою теореми Піфагора, знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю.

У цьому нам допоможе така схема:

Скориставшись цими формулами, за двома будь-якими сторонами прямокутного трикутника можна знайти його третю сторону.

Наприклад:

Якщо $a = 6$ см, $b = 8$ см, то $c = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2} = 10$ (см);

Якщо $c = 13$ см, $a = 5$ см, то $a = \sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2} = 12$ (см).

Правильною є і теорема, обернена до теореми Піфагора: якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник — прямокутний.

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник зі сторонами $3$ см, $4$ см і $5$ см — прямокутний, оскільки $3^2 + 4^2 = 5^2$ . Прямокутний трикутник із такими сторонами називають єгипетським, оскільки вважається, що його використовували у Давньому Єгипті для побудови прямих кутів на місцевості.

Трійку цілих чисел, що задовольняє теорему Піфагора, називають піфагоровою трійкою чисел, а трикутник, для якого вона є довжинами сторін, — піфагоровим трикутником.
Наприклад, піфагоровою є не тільки трійка чисел $3, 4, 5$ , а й далі в порядку зростання чисел ідуть такі піфагорові трійки: $(5, 12, 13),$ $(8, 15, 17),$ $(7, 24, 25),$ $(9, 40, 41),$ $(33, 56, 65),$ $(36, 77, 85).$
Зауважимо, що з теореми Піфагора та теореми, оберненої до неї, випливає, що трикутник є прямокутним тоді й тільки тоді, коли квадрат найбільшої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін.

З урахуванням того, що числом $x^2$ виражається площа квадрата зі стороною $x$ , теорему Піфагора можна сформулювати так: сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.
Багато поколінь школярів і школярок називають геометричну фігуру, яка ілюструє цей факт, «Піфагорові штани» й формулюють теорему в жартівливій формі: «Піфагорові штани на всі сторони рівні».

$S_a+S_b = S_c$

Джерела:
1. О.С. Істер. Геометрія: підручник для 8-го класу. 2021 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/804-geometriya-8-klas-ister-2016.html
2. Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова. Геометрія: підручник для 8-го класу. 2021 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/859-geometriya-8-klas-bevz-vladmrova-2016.html
3. М.І. Бурда, Н.А. Тарасенкова. Геометрія: підручник для 8-го класу. 2021 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/834-geometriya-burda-tarasenkova-8-klas.html
4. В.О Тадеєв. Геометрія: підручник для 8-го класу. 2016 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/835-geometriya-8-klas-tadeev.html
5. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Геометрія: підручник для 8-го класу. 2021 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/796-merzlyak-2016-geometriya-8-klas.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.