Математика jul_2024_9_5: Геометрична прогресія | Smartosvita LMS

Геометрична прогресія

Уяви, що у тебе є пробірка з однією бактерією, яка дуже швидко розмножується. Щогодини кількість бактерій у пробірці подвоюється. Тобто, якщо на початку у пробірці була одна бактерія, то через годину їх буде дві, через дві години — чотири, через три години — вісім і так далі.

$1,2,4,8,16,32,64,128,256,...$

Це — приклад геометричної прогресії.

Геометрична прогресія — це послідовність із відмінним від нуля першим членом, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число.

Число, що дорівнює відношенню наступного і попереднього членів послідовності, називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою $q$ .

Початкова кількість бактерій (одна бактерія) визначає перший член прогресії $b_1$ , а знаменник $q$ — це число $2$ , оскільки кількість бактерій подвоюється.

Тепер давай з’ясуємо, скільки бактерій буде у пробірці через $10$ годин. Для цього використовуємо формулу для $n$ -го члена геометричної прогресії:

$b_n=b_1⋅q^{n−1}$

де $b_n$ — $n$ -й член геометричної прогресії, який ми хочемо знайти;

$b_1$ — перший член геометричної прогресії;

$q$ — знаменник геометричної прогресії;

$n$ — номер геометричної прогресії.

У нашому випадку початкова кількість бактерій $b_1=1$ , знаменник $q = 2$ , кількість годин $n = 10$ .

Підставляємо ці значення:

$b_{10}=1⋅2^{10−1}=1⋅2^9=1⋅512=512.$

Таким чином, через $10$ годин у пробірці буде $512$ бактерій, і це десятий член геометричної прогресії.

А тепер, коли ти розумієш основну ідею геометричної прогресії, ти можеш застосовувати її у різних математичних і реальних ситуаціях, де спостерігається така закономірність зміни чисел.

Розглянь ще один приклад.

Задача.

За перший рік роботи продажі компанії «Майклсон Ленд Девелопмент» становили $1$ мільйон доларів. Продажі компанії збільшувалися на $10$ % щорічно. Знайди очікувані продажі компанії за п’ятий рік.

Розв’язання. Річні продажі компанії «Майклсон Ленд Девелопмент» утворюють геометричну прогресію з першим членом $a_1=1000000$$ доларів і знаменником $q = 1,1$ (що відповідає збільшенню на $10$ % щороку). Для знаходження обсягу продажів за п’ятий рік $b_5$ використовуємо формулу $n$ -го члена геометричної прогресії:

$b_5=1000000⋅1,1^{5−1}=1000000⋅1,1^4=1464100.$

Таким чином, обсяг продажів компанії «Майклсон Ленд Девелопмент» за п’ятий рік становить $1 464 100$ доларів.

_{Текст розробила Наталія Дубей}
_{з використанням ChatGPT-3.5.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.