Математика jul_2024_9_5: Числові нерівності | Smartosvita LMS

Числові нерівності

На практиці ми часто порівнюємо різні величини. Наприклад, площа Австралії ( $7,688$ млн км²) більша за площу Індії ( $3,287$ млн км²), висота Ейфелевої вежі ( $324$ м) більша за висоту Піраміди Хеопса ( $147$ м).

Результати таких порівнянь можна записувати у вигляді числових нерівностей, використовуючи знаки $>$ та $\lt$ . Зокрема, якщо число $𝑎$ більше за число $𝑏$ , то пишуть $𝑎 > 𝑏$ , а якщо число $𝑎$ менше за число $𝑏$ , то пишуть $𝑎 < 𝑏$ .

Зауважимо, що число $𝑎$ вважають більшим за число $𝑏$ , якщо різниця $𝑎 - 𝑏$ є додатним числом. Число $𝑎$ вважають меншим за число $𝑏$ , якщо різниця $𝑎 - 𝑏$ є від’ємним числом.

Зрозуміло, що різниця чисел $a$ і $b$ може бути або додатною, або від’ємною, або рівною нулю, тому для будь-яких чисел $a$ і $b$ справедливе одне і тільки одне з таких співвідношень: $a > b$ , $a < b$ , $a = b$ .

Часто в повсякденному житті ми користуємося висловами «не більше ніж», «не менше ніж». Наприклад, відповідно до санітарних норм кількість учнів у класі має бути не більшою ніж $30$ .

У математиці для вислову «не більше ніж» використовують знак $≤$ (читають: «менше або дорівнює»), а для вислову «не менше ніж» — знак $≥$ (читають: «більше або дорівнює»).

Знаки і $>$ називають знаками строгої нерівності, а знаки $≤$ і $≥$ називають знаками нестрогої нерівності.

Основні властивості числових нерівностей:

Якщо $a > b$ і $b > c$ , то $a > c$ .

Якщо $a > b$ і $c$ — будь-яке число, то $a + c > b + c$ .

Якщо $a > b$ і $c$ — додатне число, то $ac > bc$ .

Якщо $a > b$ і $c$ — від’ємне число, то $ac < bc$ .

Якщо $a > b$ і $ab > 0$ , то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .

Аналогічні властивості притаманні й нестрогим нерівностям. Це означає, що якщо поміняти $>$ на $≥$ , а $\lt$ на $≤$ , то всі властивості працюватимуть.

Джерело: Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2017. — 272 с. : іл. ISBN 978-966-474-293-8. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_algebra_merzljak_2017.pdf

Метод оцінювання: Краща оцінка.