Математика jul_2024_10_3: Локальні екстремуми_к | Smartosvita LMS

Локальні екстремуми_к

Поняття локального екстремуму має численні застосування в бізнесі, економіці, техніці. Давай наведемо деякі з важливих застосувань.

Ціна акції, представлена у вигляді функціонального рівняння та графіка, допоможе знайти точки, де ціна акції є максимальною та мінімальною.

Напругу в електроприладі, при якій вона досягає піку, можна визначити за допомогою максимумів функції напруги.

У харчових установках вологість представлена функцією, і максимальну вологість, при якій харчові продукти псуються, і мінімальну вологість, необхідну для збереження харчових продуктів свіжими, можна знайти з екстремумів.

Кількість насіння, яке потрібно висіяти на полі для отримання максимального врожаю, можна знайти з максимумів функції.

Знаючи максимуми, можна знайти максимальну висоту, якої досягає м’яч, що підкинутий у повітря і рухається по параболічній траєкторії.

Що, якби ми сказали тобі, що за рівнянням функції ти можеш знайти всі-всі точки її локального максимуму та мінімуму? І це правда!
Точка локального максимуму — це точка, де функція змінює напрямок від зростання до спадання (роблячи цю точку «піком» на графіку).

Подібним чином точка локального мінімуму — це точка, де функція змінює напрямок від спадання до зростання (роблячи цю точку «низом» на графіку).

Якщо зміни знаків не відбулося, то така точка не є точкою локального екстремуму.

Точки локального максимуму і мінімуму разом називають точками локального екстремуму, а значення функції у цих точках — локальними екстремумами функції.

Ти вже знаєш, як знайти проміжки зростання та спадання функції. Пошук точок локального екстремуму передбачає ще один крок: пошук точок, де функція змінює напрямок. Точками локального екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки. Тому, шукаючи точки локального екстремуму функції, у першу чергу треба знайти її критичні точки. Але пам’ятати, що не кожна критична точка є точкою екстремуму.

Розглянемо приклад. М’яч підкинуто в повітря. Його висота в будь-який момент часу $t$ визначається як
$h(t) = 3 + 14t − 5t^2$ .
Яка його максимальна висота?
Розв’язання. 1. Знайдемо область визначення функції: $x \in [0;~+ \infty)$ .
2. Знайдемо похідну $h'$ функції $h$ : $h'(t)=0+ 14-5(2t)=14-10t$ .
3. Знайдемо критичні точки функції: $14-10t=0$ . Таким чином, $h' (t) =0$ , коли $t= 1,4$ .
4. Поділимо знайденою критичною точкою область визначення функції на проміжки. Отримаємо: $[0;~ 1,4] \cup [1,4;~+ \infty)$ .
5. Позначимо критичну точку на числовій прямій, визначимо, чи точка є точкою екстремуму і якою саме, максимуму чи мінімуму.

Спочатку з’ясуємо знак похідної на вказаних проміжках. Підставимо точку з першого проміжку в рівняння похідної. Наприклад, $t=1$ , будемо мати $h' (t) =4$ . Підставимо точку з другого проміжку в рівняння похідної. Наприклад, $t=2$ , будемо мати $h' (t) =-6$ . Отже, $h'(t)> 0$ для $t$ в інтервалі $[0;~ 1,4]$ , а $h(t)$ $<$ $0$ для $x$ в інтервалі $[1,4;~+ \infty )$ .

Це означає, що функція $h$ зростає на $[0;~ 1,4]$ і спадає на $[1,4;~+ \infty )$ .

Отже, точка $t= 1,4$ є точкою локального максимуму. Тепер можемо знайти максимальну висоту, на яку було підкинуто м’яч: $h(1,4)= 3 + 14 \cdot 1,4 − 5 \cdot 1,4^2=12,8$ метрів.
У кінці для наочності і розуміння, чи роз’язок правильний, глянемо на графік функції.

Все добре!

Теорію впорядкувала Луців Ілона-Анна.

Джерела:

Khan Academy

Math Is Fun

Алгебра 10 клас. Істер О., Єргіна О.

Метод оцінювання: Краща оцінка.