Математика jul_2024_10_3: Січна та середня швидкість зміни_к | Smartosvita LMS

Січна та середня швидкість зміни_к

Cпочатку давай розглянемо найпростіший випадок, коли змінна $y$ , що нас цікавить, лінійно залежить від часу $t$ :

$y(t)=mt+b$ . (1)
Тоді графік залежності $y$ від $t$ є прямою лінією з нахилом $m$ і відрізком $b$ , що відтинається прямою від осі $Oy$ , якщо рахувати від початку координат. Рівняння прямої лінії (1) визначає нахил $m$ і точку перетину $b$ лінії з віссю $Oy$ , як показано за допомогою повзунків на цьому інтерактивному графіку.
Для прямої лінії ми визначимо швидкість зміни $y$ відносно часу $t$ як відношення: $\frac{Зміна~ y}{Зміна~t}$ .

Тепер ми зробимо важливий висновок: нахил $m$ прямої лінії в рівнянні (1) відповідає швидкості зміни лінійної залежності.

Доведення. Взявши будь-які дві точки $(t_1,y_1)$ і $(t_2,y_2)$ на цій лінії та використовуючи позначення $\Delta y$ , $\Delta t$ для представлення зміни $y$ і $t$ , ми обчислимо відношення $\frac{ \Delta y}{\Delta t}$ : $\frac{Зміна~ y}{Зміна~t}= \frac{ \Delta y }{ \Delta t} = \frac{y_2-y_1}{t_2-t_1} =\frac{(mt_2+b)-(mt_1+b)}{t_2-t_1}=\frac{mt_2-mt_1}{t_2-t_1}=m$ .
Таким чином, нахил $m$ точно відповідає поняттю зміни $y$ за одиницю часу, яке ми надалі називатимемо швидкістю зміни $y$ відносно часу. Важливо зауважити, що це обчислення приводить до того самого результату незалежно від того, які дві точки ми вибираємо на графіку прямої лінії.

Тепер розглянемо швидкість зміни для відношення, відмінного від лінійного. Важливим інструментом для вивчення залежностей між змінними, особливо коли ці залежності є нелінійними, є середня швидкість зміни. Основним поняттям, пов’язаним із цією концепцією, є січна лінія, яка допомагає нам розуміти, як змінюється функція на певному інтервалі.
Січна — це пряма, яка проходить через будь-які дві точки на графіку функції. Для нелінійних функцій, де графік може мати криву форму, січна лінія допомагає нам наближати середню швидкість зміни між двома точками на графіку.
Отже, розглянемо графік $y=x^2$ або принаймні частину графіка.

І перше, що ми би хотіли дізнатися, це те, якою є середня швидкість зміни $y$ відносно $x$ на проміжку від $1$ до $3$ . І це закритий проміжок, де $x_1$ може дорівнювати $1$ , а $x_2$ може дорівнювати $3$ .
Ми могли б зробити це, навіть не дивлячись на графік — якби ми просто створили таблицю:

Тут ми маємо: якщо $x=1$ , то $y=x^2=1$ . Коли $x=3$ , то $y=9$ . Отже, ти можеш побачити, що зміна $x$ дорівнює $+2$ , а зміна $y$ дорівнює $+8$ . Отже, якою є середня швидкість зміни функції? Вона буде: $\frac{Зміна ~y}{Зміна~x} = \frac{8}{2} =4$ . На цьому проміжку, в середньому, щоразу, коли $x$ збільшується на $1$ , $y$ збільшується на $4$ . Подивимося, який це матиме вигляд на графіку.

Це може здатися тобі досить знайомим, тому що ти звик думати про зміну $y$ відносно зміни $x$ як нахил прямої, що проходить через дві точки. І це дійсно те, що ми порахували. Якщо ми проведемо січну через ці дві точки, ми просто обчислимо нахил цієї січної. Отже, середня швидкість зміни між двома точками — це те саме, що нахил січної. І, дивлячись на січну в порівнянні з кривою на цьому проміжку, ми матимемо візуальне уявлення про те, що означає середня швидкість зміни.

На початку проміжку ти бачиш, що січна зростає з більшою швидкістю, але потім, коли ми наближаємося до $3$ , здається, що наша крива зростає швидше, ніж січна, і потім вони зрештою зрівнюються. Ось чому нахил січної є середньою швидкістю зміни. Чи це точна швидкість зміни в кожній точці? Ні. Швидкість зміни кривої постійно змінюється. Вона змінюється з меншою швидкістю на початку цього проміжку, а потім зростає з більшою швидкістю, коли ми наближаємося до трьох. Отже, на заданому проміжку $\frac{Зміна ~y}{Зміна~x}$ однакова. Одна з ключових ідей полягає в тому, що важливо розуміти, як ця швидкість змінюється, коли точки наближаються одна до одної. Ми вже знайшли середню швидкість зміни між точками $1$ і $3$ , або нахил січної лінії, яка проходить через точки $(1;~ 1)$ і $(3;~ 9)$ . Однак якщо ми розглянемо інші пари точок, наприклад, $(2;~ 4)$ і $(3;~ 9)$ , або навіть $(2,5;~ 6,25)$ і $(3;~ 9)$ , що відбудеться?
При наближенні точок одна до одної нахили січних будуть все ближче до нахилу дотичної лінії в точці, де $x$ дорівнює $3$ . Тобто ми можемо наближати точки все ближче одна до одної, і нахили січних будуть наближатися до нахилу дотичної, яка має координату $x$ , що дорівнює $3$ . З цієї точки зору, ми говоримо вже не про середню швидкість зміни, а про миттєву швидкість зміни. Це одна з центральних ідей у математиці, відома як похідна. Ми розглянемо це незабаром. Але дуже важливо розуміти, що середня швидкість зміни між двома точками — це те саме, що нахил січної. І коли ці точки стають все ближче і ближче одна до одної, оскільки січна з’єднує ці дві точки разом, ця відстань між точками, між значеннями $x$ точок, наближається до $0$ , і відбуваються дуже цікаві речі.

Середня швидкість зміни $y=f(x)$ на проміжку $a≤x≤b$ обчислюється так: $\frac{Зміна ~y}{Зміна ~x}= \frac{ \Delta y }{ \Delta x}= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Ми можемо розширити означення середньої швидкості зміни на будь-яку функцію $f( x )$ : припустимо, що $y=f(x)$ є функцією деякої довільної змінної $x$ . Середня швидкість зміни $y$ між двома точками $x_0$ і $x_0+h$ визначатиметься так: $\frac{Зміна ~y}{Зміна ~x}= \frac{ \Delta y }{ \Delta x}= \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{((x_0+h)-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ , де $h$ — це різниця між координатами $x$ .

Приклад. Розглянемо предмет, що падає. Припустимо, що загальна відстань, пройдена за час $t$ , задана рівнянням $y(t)=4,9t^2$ . Знайди середню швидкість $\overline{v}$ об’єкта за інтервал часу $1≤t≤2$ .
Розв’язання. На рисунку ми відтворюємо дані падіння об’єкта і проводимо січну через дві точки з позначкою $t_0=1$ і $t_0+h=1+1=2$ .

Тоді обчислюємо середню швидкість наступним чином: $\overline{v}= \frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{h}=\frac{4,9(t_0+h)^2-4,9(t_0)^2}{h}=\frac{4,9(2)^2-4,9(1)^2}{1}=14,7$ . Отже, середня швидкість падіння предмета за проміжок часу: $1≤t≤2$ — $\overline{v}=14,7$ м/с.

Джерело:

Differential Calculus for the Life Sciences. Leah Edelstein-Keshet
Khan Academy

Метод оцінювання: Краща оцінка.