Математика jul_2024_9_5: Додавання та віднімання векторів

Додавання та віднімання векторів

Михайлик планує подорож зі Львова до Івано-Франківська, але вирішує зупинитись у Тернополі, щоб навідатися до друзів.

Подорож зі Львова до Івано-Франківська можна уявити як послідовне виконання двох векторних переміщень: Львів — Тернопіль та Тернопіль — Івано-Франківськ. Тобто:

$\overrightarrow{Львів—ІФ}=\overrightarrow{Львів—Тернопіль}+\overrightarrow{Тернопіль—ІФ}$

Такий метод додавання векторів називають правилом трикутника.

Метод трикутника застосовують, якщо кінець одного вектора є початком іншого.

Якщо ж обидва вектори виходять з однієї точки, то використовують метод паралелограма:

Зауважимо, що якщо вектори $\vec{a}$ i $\vec{b}$ мають координати $\vec{a}(x_1; y_1)$ i $\vec{b}(x_2;y_2)$ , то

$\vec{a}+\vec{b} = \overrightarrow{(x_1+x_2; y_1+y_2)}.$

Справді, пригадаємо ще раз Михайликову поїздку.

Шлях зі Львова до Тернополя, тобто вектор $\overrightarrow{AB}$ , має координати $(3-(-1); 2-4)$ , а шлях з Тернополя до ІФ визначається вектором $\overrightarrow{BC}(0-3; -1-2)$ .

Розглянемо суму цих векторів:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{(3-(-1); 2-4)} + \overrightarrow{(0-3; -1-2)} =$

$=\overrightarrow{(3-(-1)+0-3; 2-4-1-2)} = \overrightarrow{(0-(-1); -1-4)} = \overrightarrow{AC}$ .

Таким чином, координати Тернополя «взаємознищуються», і ми отримуємо безпосередній шлях від Львова до Івано-Франківська.

Подібним чином вводять віднімання векторів. Якщо $\vec{a}(x_1; y_1)$ i $\vec{b}(x_2;y_2)$ , то

$\vec{a}-\vec{b} = \overrightarrow{(x_1-x_2; y_1-y_2)}.$

Геометрично це можна представити так:

_{Теорію впорядкували Савчин Марія та Грибель Ольга.}

Джерела:

А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_geometrija_merzljak_2017.pdf

О. С. Істер. Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1031-ister-geometriya-9-klas.html

М. І. Бурда, Н.А. Тарасенкова Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_geometrija_burda_2017.pdf

Метод оцінювання: Краща оцінка.

Додавання та віднімання векторів

Михайлик планує подорож зі Львова до Івано-Франківська, але вирішує зупинитись у Тернополі, щоб навідатися до друзів.

Подорож зі Львова до Івано-Франківська можна уявити як послідовне виконання двох векторних переміщень: Львів — Тернопіль та Тернопіль — Івано-Франківськ. Тобто:

\overrightarrow{Львів—ІФ}=\overrightarrow{Львів—Тернопіль}+\overrightarrow{Тернопіль—ІФ}

Такий метод додавання векторів називають правилом трикутника.

Метод трикутника застосовують, якщо кінець одного вектора є початком іншого.

Якщо ж обидва вектори виходять з однієї точки, то використовують метод паралелограма:

Зауважимо, що якщо вектори \vec{a} i \vec{b} мають координати \vec{a}(x_1; y_1) i \vec{b}(x_2;y_2), то

\vec{a}+\vec{b} = \overrightarrow{(x_1+x_2; y_1+y_2)}.

Справді, пригадаємо ще раз Михайликову поїздку.

Шлях зі Львова до Тернополя, тобто вектор \overrightarrow{AB}, має координати (3-(-1); 2-4), а шлях з Тернополя до ІФ визначається вектором \overrightarrow{BC}(0-3; -1-2).

Розглянемо суму цих векторів:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{(3-(-1); 2-4)} + \overrightarrow{(0-3; -1-2)} =

=\overrightarrow{(3-(-1)+0-3; 2-4-1-2)} = \overrightarrow{(0-(-1); -1-4)} = \overrightarrow{AC}.

\vec{a}-\vec{b} = \overrightarrow{(x_1-x_2; y_1-y_2)}.

Геометрично це можна представити так:

Джерела:

А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_geometrija_merzljak_2017.pdf

О. С. Істер. Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1031-ister-geometriya-9-klas.html

М. І. Бурда, Н.А. Тарасенкова Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_geometrija_burda_2017.pdf

$\overrightarrow{Львів—ІФ}=\overrightarrow{Львів—Тернопіль}+\overrightarrow{Тернопіль—ІФ}$

Зауважимо, що якщо вектори $\vec{a}$ i $\vec{b}$ мають координати $\vec{a}(x_1; y_1)$ i $\vec{b}(x_2;y_2)$ , то

$\vec{a}+\vec{b} = \overrightarrow{(x_1+x_2; y_1+y_2)}.$

Шлях зі Львова до Тернополя, тобто вектор $\overrightarrow{AB}$ , має координати $(3-(-1); 2-4)$ , а шлях з Тернополя до ІФ визначається вектором $\overrightarrow{BC}(0-3; -1-2)$ .

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{(3-(-1); 2-4)} + \overrightarrow{(0-3; -1-2)} =$

$=\overrightarrow{(3-(-1)+0-3; 2-4-1-2)} = \overrightarrow{(0-(-1); -1-4)} = \overrightarrow{AC}$ .

$\vec{a}-\vec{b} = \overrightarrow{(x_1-x_2; y_1-y_2)}.$