Математика jul_2024_10_3: Основні поняття та аксіоми стереометрії_к | Smartosvita LMS

Основні поняття та аксіоми стереометрії_к

Стереометрія — це розділ геометрії, який вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

Основними (неозначуваними) поняттями в стереометрії є поняття точки, прямої і площини. Нагадаємо, що уявлення про точку дає, наприклад, слід на папері від дотику добре загостреного олівця, слід на дошці від дотику крейди тощо. Позначати точки, як і раніше, будемо великими латинськими літерами $A,\, B,\, C$ .

Уявлення про пряму дає промінь світла, струна на гітарі, розмітка між двома смугами прямолінійної дороги тощо. Прямі можна проводити за допомогою лінійки. При цьому отримують зображення лише частини прямої, а всю пряму уявляють нескінченною в обидва боки. Позначати прямі, які раніше, будемо малими латинськими літерами $a,\, b,\, c$ ... або двома великими латинськими літерами за назвами двох точок цієї прямої: $AB,\, CD,\, MN$ .

Уявлення про площину дає поверхня стола, футбольне поле, віконна шибка, стеля тощо. Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою, вона не має краю та не має товщини.

Основні властивості найпростіших геометричних фігур формулюють за допомогою аксіом. Аксіоми приймають як вихідні положення. Усі аксіоми планіметрії, відомі нам із $7$ -го класу, справджуються і в стереометрії. Нагадаємо їх.

Оскільки в планіметрії усі фігури лежали в одній площині, а в стереометрії вони можуть лежати в різних площинах, останню аксіому — аксіому паралельності прямих — для стереометрії уточнено.

А нове поняття — площина — потребує ще й розширення системи аксіом, тобто доповнення стереометрії аксіомами, що описують властивості точок, прямих і площин у просторі. Ці завдання реалізує нова група аксіом — група аксіом $C$ .

$C1.$ Яка б не була площина, існують точки, які їй належать, і точки, які їй не належать.

На рисунку точки $М$ і $N$ належать площині $\alpha$ (площина $\alpha$ проходить через ці точки), а точки $C$ , $K$ і $L$ — не належать цій площині.

$C2.$ Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки прямої належать цій площині.

На рисунку точки $C$ і $D$ прямої $m$ належать площині $\alpha$ , тому і пряма $m$ , що проходить через ці точки, належить площині $\alpha$ .

Пряма $n$ і площина $\alpha$ мають одну спільну точку $K$ . У такому випадку кажуть, що пряма $n$ перетинає площину $\alpha$ в точці $K$ .

На прямій $n$ існує точка, що площині $\alpha$ не належить

$C3.$ Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

$C4.$ Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Практичною ілюстрацією цієї аксіоми є, наприклад, стійкість на підлозі будь-якої триноги (табурета на трьох ніжках, фотоштатива тощо). Три точки $A,\, B,\, C,$ , які є кінцями триноги, завжди можна розмістити у площині підлоги $\alpha$ . Тому площину $\alpha$ можемо називати ще площиною $ABC$ і позначати так: $(ABC)$ .

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії:

Теорема $1$ (про існування і єдиність площини, що проходить через пряму і точку, що їй не належить). Через пряму і точку, що їй не належить, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема $2$ (про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються). Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Джерело: О.С. Істер, О.В. Єргіна. Математика: підручник для 10-го класу (профільний рівень). 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1178-geometriya-10-klas-ister.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.