Математика jul_2024_10_3: Абсолютні максимуми та мінімуми_к | Smartosvita LMS

Абсолютні максимуми та мінімуми_к

Точка абсолютного максимуму — це точка, де функція набуває найбільшого можливого значення.
Подібним чином точка абсолютного мінімуму — це точка, де функція набуває найменшого можливого значення.
Ти вже знаєш, як знайти локальні мінімуми та максимуми функції. Пошук абсолютних точок екстремуму передбачає ще один крок: розгляд кінців проміжку в обох напрямках.
Важливо зазначити, що абсолютні екстремуми можуть виникати в межах проміжку або в його кінцевих точках. На відміну від цього, локальні екстремуми можна знайти лише в межах відкритого інтервалу і ніколи в кінцевій точці.
Функція може мати кілька локальних максимумів (мінімумів) на деякому проміжку, але не більше одного абсолютного максимуму (мінімуму). Функція може не мати локального максимуму (мінімуму) на проміжку, але мати абсолютний максимум (мінімум).
Наприклад, функція, графік якої зображено на рисунку 1, найбільше значення має у точці $x_2$ , а найменше — у точці $x_3$ , а функція $f(x) = x^2$ , задана на проміжку $[–1;~ 2]$ , має найменше значення $f(0) = 0$ і найбільше значення $f(2) = 4$ (рис. 2).

Рисунок 1 Рисунок 2

Як знайти абсолютні екстремуми? Чудове запитання!
Яку кількість продукції потрібно випустити підприємству, щоб отримати найбільший прибуток? Як, маючи обмежені ресурси, виконати виробниче завдання за найменший час? Як доставити товар у торговельні точки так, щоб витрата палива була найменшою?
З такими й подібними задачами на пошук найкращого або, як кажуть, оптимального розв’язку людині досить часто доводиться стикатися у своїй діяльності.
Уявимо, що відома функція, яка описує, наприклад, залежність прибутку підприємства від кількості виготовленої продукції. Тоді завдання зводиться до пошуку аргументу, при якому функція набуває найбільшого значення.
Далі ми з’ясуємо, як можна знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку $[a;~ b]$ , який є в свою чергу областю визначення заданої функції. Обмежимося розглядом лише неперервних функцій. Зауважимо, що точка, у якій функція набуває найменшого значення, необов’язково є точкою локального мінімуму.
Неперервна на відрізку $[a;~ b]$ функція набуває на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень або на кінцях відрізка, або в точках екстремуму (рис. 3).

Рисунок 3

Зважаючи на це, для такої функції пошук найбільшого і найменшого значень на відрізку $[a;~ b]$ можна виконувати, користуючись такою схемою.

1. Знайти критичні точки функції $f$ , які належать проміжку $[a;~ b]$ .

2. Обчислити значення функції в знайдених критичних точках і на кінцях розглядуваного відрізка.
3. Із усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Зрозуміло, що цей алгоритм можна реалізувати лише тоді, коли розглядувана функція $f$ має скінченну кількість критичних точок на відрізку $[a;~ b]$ .
Якщо визначити, які з критичних точок є точками екстремуму, то кількість точок, у яких потрібно шукати значення функції, можна зменшити. Проте щоб виявити точки екстремуму, зазвичай потрібна більша технічна робота, ніж для обчислення значень функції в критичних точках.
Не всі функції мають абсолютне максимальне або мінімальне значення на всій своїй області. Наприклад, лінійна функція $f ( x )=x$ не має абсолютного мінімуму чи максимуму (вона може бути настільки низькою або високою, як ми захочемо).
Однак деякі функції мають абсолютний екстремум на всій своїй області. Наприклад, функція $f(x)=xe^{3x}$ . Вона має точку абсолютного мінімуму $x=-\frac{1}{3}$ , але не має абсолютного максимуму (рис. 4).

Рисунок 4

Розглянемо застосування похідної для знаходження абсолютного максимуму у практичній задачі.

Сад прямокутної форми має бути побудований з використанням кам’яної стіни як однієї сторони саду та дротяної огорожі для трьох інших сторін. Дано $100$ метрів дротяної огорожі. Визначте розміри, які дозволять створити сад максимальної площі. Яка максимальна площа?
Розв’язання. Нехай $x$ позначає довжину сторони саду, перпендикулярної до кам’яної стіни, а $y$ позначає довжину сторони, паралельної кам’яній стіні.

Рисунок 5

Тоді площа саду дорівнює $A=x \cdot y$ .
Ми хочемо знайти максимально можливу площу з урахуванням обмеження, що загальна огорожа може становити $100$ метрів. З рисунка 5 загальна кількість використаної огорожі становитиме $2x+y$ . Отже, ми отримаємо таке рівняння обмеження: $2x+y=100$ . Розв’язуючи це рівняння для $y$ , ми маємо $y=100−2x$ . Таким чином, ми можемо записати площу як
$A(x)=x\cdot(100-2x)=100x-2x^2$ .
Перш ніж спробувати максимізувати функцію площі $A(x)=100x−2x^2$ , нам потрібно визначити область, що розглядається. Щоб побудувати прямокутний сад, нам обов’язково потрібно, щоб довжини обох сторін були додатними. Тому нам потрібні $x>0$ і $y>0$ . Оскільки $y=100−2x$ , якщо $y>0$ , то $x$ $<$ $50$ .
Тому ми мали б намагатися визначити максимальне значення $A(x)$ для $x$ на відкритому інтервалі $(0,50)$ . Але ми не знаємо, що функція обов’язково має максимальне значення на відкритому інтервалі. Однак ми знаємо, що неперервна функція має абсолютний максимум (і абсолютний мінімум) на закритому інтервалі. Тому розглянемо функцію $A(x)=100x−2x^2$ на закритому інтервалі $[0,50]$ .
Якщо максимальне значення виникає у внутрішній точці, то ми знайдемо значення $x$ на відкритому інтервалі $(0,50)$ , яке максимізує площу саду. Тому розглядаємо наступну проблему:
максимізувати $A(x)=100x−2x^2$ на інтервалі $[0,50]$ .
Як згадувалося раніше, оскільки $A$ є неперервною функцією на закритому обмеженому інтервалі, вона має максимум і мінімум. Ці значення виникають або в кінцевих, або в критичних точках. У кінцевих точках $A(x)=0$ . Оскільки площа додатна для всіх $х$ на відкритому інтервалі $(0,50)$ , максимум повинен досягатися в критичній точці. Знайдемо похідну функції $A(x)$ , отримаємо:
$A'(x)=100-4x$ .
Тому єдиною критичною точкою є $x=25$ . Ми робимо висновок, що максимальна площа повинна бути, коли $x=25$ . Тоді ми маємо: $y=100−2x=100−2 \cdot 25=50$ . Щоб максимізувати площу саду, нехай $x=25$ метрів і $y=50$ метрів.
Площа цього саду становить $1250$ квадратних метрів.

Теорію впорядкувала Луців Ілона-Анна.

Джерела:

Khan Academy

CalcWorkshop

Calculus Volume 1. Gilbert Strang and Edwin "Jed" Herman

Алгебра 10 клас. Мерзляк А. Г.,Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С.

Алгебра 10 клас. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г.

Метод оцінювання: Краща оцінка.