Математика jul_2024_9_5: Квадратична функція та її властивості | Smartosvita LMS

Квадратична функція та її властивості

Квадратична функція — це функція, яка може бути представлена у вигляді $f(x) = ax^2 + bx + c$ , де $a$ , $b$ та $c$ — це константи, і $a \neq 0$ .

Графіком квадратичної функції є парабола.

Основні властивості параболи

Вершина параболи:

Вершина параболи є найнижчою або найвищою точкою на графіку функції.

Координати вершини знаходяться за формулою: $(- \frac{b}{2a}, f(- \frac{b}{2a}))$ .

Вісь симетрії:

Вісь симетрії проходить через вершину параболи.

Рівняння осі симетрії: $x = - \frac{b}{2a}$ .

Напрямок віток параболи:

Якщо $a > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору.

Якщо $a < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.

Перетини з осями координат:

Перетин з віссю $y$ : $(0, c)$ .

Перетини з віссю $x$ можна знайти, розв’язавши рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ .

Область визначення: Квадратична функція визначена для всіх дійсних чисел.
Область визначення: $\mathbb{R}$ (всі дійсні числа).

Область значень:

Якщо $a > 0$ : $[f\left(-\frac{b}{2a}\right), +\infty)$ .

Якщо $a < 0$ : $(-\infty, f\left(-\frac{b}{2a}\right)]$ .

Проміжки зростання і спадання:

Для $a > 0$ : спадає на $(-\infty, -\frac{b}{2a})$ і зростає на $(-\frac{b}{2a}, +\infty)$ .

Для $a < 0$ :зростає на $(-\infty, -\frac{b}{2a})$ і спадає на $(-\frac{b}{2a}, +\infty)$ .

Максимуми та мінімуми:

Якщо $a > 0$ , у вершині параболи знаходиться мінімум.

Якщо $a < 0$ , у вершині параболи знаходиться максимум.

Дискримінант:

Визначає кількість і тип коренів рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ : $D = b^2 - 4ac$ .

$D > 0$ : два різних дійсних корені (парабола перетинає вісь абсцис у двох різних точках).

$D = 0$ : один дійсний корінь (парабола дотикається своєю вершиною до осі абсцис) .

$D < 0$ : немає дійсних коренів (парабола не має спільних точок із віссю абсцис).

_{Теорію впорядкував Чоп’юк Юрій з використанням ChatGPT 4o.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.