Математика jul_2024_8_8: Вчимося складати квадратне рівняння за задачею | Smartosvita LMS

Вчимося складати квадратне рівняння за задачею

Складання математичних моделей задач — це процес перетворення реальних ситуацій на математичні вирази, які допомагають краще зрозуміти цю ситуацію і знайти розв’язок. Наприклад, нам потрібно розрахувати, скільки грошей ми можемо заробити за певний час. Для цього ми можемо скласти формулу, де кількість грошей залежить від часу і швидкості заробітку, і спрогнозувати, скільки грошей можна заробити, якщо змінювати час чи швидкість роботи.

Математичні моделі задач дозволяють краще розуміти складні ситуації і дають можливість приймати правильні рішення. Такі моlелі тобі вже зустрічалися раніше! Ознайомся з поданими нижче прикладами і алгоритмом застосування математичних моделей для раціональних рівнянь.

ПРИКЛАД 1. Перегін у $60$ км поїзд мав проїхати з постійною швидкістю за визначений розкладом час. Поїзд простояв перед перегоном $5$ хв, тому машиніст був змушений збільшити швидкість на перегоні на $10$ км/год, щоб надолужити втрачені $5$ хв.

З якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?

Перший етап. Складання математичної моделі.

Нехай $x$ км/год — швидкість поїзда за розкладом.

Оскільки протяжність перегону дорівнює $60$ км, то час, відведений розкладом на проходження перегону, становить $60x$ год.

Фактично поїзд пройшов перегін протяжністю $60$ км зі швидкістю $(x+10)$ км/год. Отже, час, витрачений на проходження перегону, дорівнює $60x+10$ год.

Із двох величин — $60x$ год і $60x+10$ год перша більше від другої на $5$ хв, тобто на $112$ год.

Отже: $60x−60x+10=112.$

Математична модель задачі складена. Це раціональне рівняння.

Другий етап. Робота зі складеною моделлю.

Маємо:

$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}-\frac{1}{12}=0$ . Перетворимо ліву частину рівняння: $\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}-\frac{1}{12}=\frac{720(x+10)-720 x-x(x+10)}{12 x(x+10)}=\frac{-x^2-10 x+7200}{12 x(x+10)}$ .

Прирівнявши чисельник цього дробу до нуля, отримаємо квадратне рівняння $- x^2-10 x+7200=0$ або, переходячи до більш зручного запису, $x^2+10 x-7200=0$ .

Далі розв’яжемо квадратне рівняння за допомогою дискримінанта, як на попередньому уроці.

Отримаємо: $x_1=80$ , $x_2=-90$ .

Обидва значення задовольняють умову $12x(x+10)≠0$ . Отже, ці значення — корені складеного раціонального рівняння.

Третій етап. Відповідь на питання задачі.

У задачі запитують: з якою швидкістю поїзд повинен був пройти перегін за розкладом?
Саме цю величину ми позначили буквою $х$ і отримали два значення: $х = 80$ або $х = -90$ . Друге значення нас не влаштовує, оскільки швидкість руху поїзда не може виражатися від'ємним числом. Отже, вибираємо значення $x=80$ — це і є відповідь на питання задачі.

Відповідь: $80$ км/год

ПРИКЛАД 2. Одна бригада працювала на ремонті дороги $7$ год, після чого до неї приєдналася друга бригада. Через $2$ год їхньої спільної роботи ремонт було закінчено.

За скільки годин може відремонтувати дорогу кожна бригада, працюючи самостійно, якщо першій для цього потрібно на $4$ год більше, ніж другій?

Розв’язання. Нехай перша бригада може самостійно відремонтувати дорогу за $x$ год, тоді другій для цього потрібно $(x-4)$ год. За 1 год перша бригада ремонтує $\frac{1}{x}$ частину дороги, а друга $\frac{1}{x-4}$ частину дороги. Перша бригада працювала 9 год і відремонтувала $\frac{9}{x}$ дороги, а друга бригада працювала 2 год і відремонтувала відповідно $\frac{2}{x-4}$ дороги. Оскільки в результаті було відремонтовано всю дорогу, то можна скласти рівняння $\frac{9}{x}+\frac{2}{x-4}=1.$

Отримане рівняння має два корені: $x_1=12$ і $x_2=3$ (переконайся в цьому самостійно). Другий корінь не задовольняє умову задачі, оскільки тоді друга бригада мала б відремонтувати дорогу за $3-4=-1$ (год), що не має змісту.

Отже, перша бригада може відремонтувати дорогу за $12$ год, а друга — за $8$ год.

Biдnoвідь: $12$ год, $8$ год.

Теорію розробила Радул Андріана з використання платформи "Мій клас" та підручником вказаним нижче.

_{Картинку до прикладів згенерувала}

_{Грибель Ольга
в ChatGPT-4.0.}

Джерело: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Алгебра: підручник для 8-го класу. 2021 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/8-klas-alhebra-merzlyak-2021.pdf

"Мій клас"

Метод оцінювання: Краща оцінка.