Математика jun_2024_6_12: Множення раціональних чисел | Smartosvita LMS

Множення раціональних чисел

Ситуація. Бабуся попросила онука допомогти порахувати, скільки літрів соку вміститься у п’ять дволітрових банок. Петрик пригадав, що додавання кількох рівних додатних чисел можна замінити дією множення. Тоді: $2+2+2+2+2=2 \cdot 5=10$ .
Чи правильно міркував Петрик? Так. Він міркував правильно й отримав, що $5$ банок по $2$ л міститимуть $10$ л соку.
Кожне раціональне число характеризують його модуль і знак, тому модуль і знак характеризують і добуток чисел.

Дані про модуль і знак додатних чисел та їх добутку наведено в таблиці.

Множення від’ємного і додатного чисел
Як від’ємне число помножити на додатне число? Поміркуємо аналогічно до попереднього прикладу.
Знайдемо добуток чисел $-2$ і $5$ :

$-2 \cdot 5=-2+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-10$ . Отримане число $-10$ є протилежним до числа $10 = 2\cdot 5$ . Але $2 =|-2|$ , $5 = |5|$ . Отже, добуток чисел $-2$ і $5$ дорівнює добутку модулів цих чисел, узятому зі знаком $«-»$ : $-2 \cdot 5=-(|-2| \cdot |5|)=-(2 \cdot 5)=-10$ .

Як помножити числа $5$ і $-2$ ? Поміркуємо, спираючись на термометр.Нехай, наприклад, $-2$ — це зміна температури повітря щогодини, а $5$ — кількість годин, протягом яких велося спостереження. Тоді і добуток

$-2 \cdot 5$ , і добуток $5 \cdot (-2)$ показує, на скільки градусів змінилася температура за 5 год і в який саме бік — підвищення чи зниження. Зрозуміло, що похолодало на $10 °C$ , тобто температура змінилась на $-10 °C$ .
Одержали, що $5 \cdot (-2)=-2 \cdot 5$ . Тому $5 \cdot (-2)= -10$ . Отже, добуток чисел $5$ і $-2$ можна знайти так само, як і добуток чисел $-2$ і $5$ :
$5 \cdot (-2)=-(|5| \cdot |-2|)=-(5 \cdot 2)=-10$ .

Занесемо дані в таблиці та з’ясуємо, як знаходили модуль і знак добутку в обох випадках.

Добуток двох чисел з різними знаками — число від’ємне.
Щоб помножити два числа з різними знаками, треба помножити їх модулі й перед отриманим добутком поставити знак «-».

Чи зміниться добуток чисел з різними знаками, якщо їх множити в іншому порядку? Ні, добуток не зміниться.

Множення двох від’ємних чисел
Як помножити два від’ємні числа? Поміркуємо.
Задача. Температура повітря щогодини змінювалась на $-2 °C$ . Якою була температура $5$ год тому?

Розв’язання. Якщо число $5$ — це кількість годин, протягом яких велися спостереження, то число $-5$ відповідає часу «5 год тому». Отже, у задачі треба знайти добуток $(-2) \cdot (-5)$ . Зрозуміло, що $5$ год тому було тепліше на $10 °C$ . Тобто

$-2 \cdot (-5)=10$ . Отже, добуток двох від’ємних чисел є числом додатним, яке дорівнює добутку модулів множників. Наприклад:

$-2 \cdot (-5)=|-2|\cdot |-5|= 2\cdot 5=10$ .

Дані про модуль і знак чисел та їх добутку наведено в таблиці.

Якщо добуток двох раціональних чисел додатний, то множники є числами з однаковими знаками. Якщо добуток двох раціональних чисел від’ємний, то множники є числами з різними знаками.

Знак добутку кількох раціональних чисел

Чи можна визначити знак добутку кількох раціональних чисел, не обчислюючи цей добуток?

Так. При цьому враховують, що добуток додатних множників є додатним, і вони не впливають на знак результату.

Добуток парної кількості від’ємних множників — додатний.

Добуток непарної кількості від’ємних множників — від’ємний.

Деякі властивості множення раціональних чисел

Якщо один із множників дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ .

Якщо один із множників дорівнює $1$ , то добуток дорівнює іншому множнику: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ .

Якщо деяке число помножити на $-1$ , то в добутку одержимо протилежне до нього число: $a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = a$ .

Чи справджуються для раціональних чисел переставний і сполучний закони множення, а також розподільний закон множення відносно додавання? Так.

Для будь-яких раціональних чисел $a, b і c,$ відмінних від нуля:

$a \cdot b = b \cdot a$ — переставний закон множення;

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ — сполучний закон множення;

$(a + b) \cdot c = aс + bc$ — розподільний закон множення відносно додавання.

Джерело: Н.А. Тарасенкова, І.М. Богатирьова, О.М. Коломієць, З.О. Сердюк, Ю.В. Рудніцька. Математика: підручник для 6-го класу. Частина 2. 2023 рік. Шкільні підручники онлайн. https://pidruchnyk.com.ua/2588-matematyka-6-klas-tarasenkova-2023.html

_{Картинку до теорії згенерував}_{Чоп'юк Юрій в ChatGPT-4o.}

Метод оцінювання: Краща оцінка.