Математика jul_2024_10_3: Границя | Smartosvita LMS

Границя

Історично розвиток числення Ісааком Ньютоном (1642–1727) і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцом (1646–1716) став результатом дослідження таких проблем:

1) знаходження дотичної до кривої в заданій точці кривої (рис. 1а);

2) знаходження площі плоскої області, обмеженої довільною кривою (рис. 1б).

Рисунок 1а. Чому дорівнює нахил дотичної $T$ у точці $P$ ?

Рисунок 1б. Чому дорівнює площа області $R$ ?

Проблема дотичної може здатися не пов’язаною з будь-яким практичним застосуванням математики, але, як ти побачиш пізніше, проблема знаходження швидкості зміни однієї величини відносно іншої математично еквівалентна геометричній задачі знаходження нахилу дотичної до кривої в даній точці кривої. Саме відкриття зв’язку між цими двома проблемами було поштовхом до розвитку числення в XVII столітті та зробило його таким незамінним інструментом для вирішення практичних завдань. Нижче наведено кілька прикладів таких проблем:

знаходження швидкості руху об’єкта;

знаходження швидкості зміни популяції бактерій відносно часу;

знаходження швидкості зміни прибутку компанії відносно часу;

знаходження швидкості зміни доходу туристичного агентства відносно витрат агентства на рекламу.

Дослідження проблеми дотичної призвело до створення диференціального числення, яке базується на понятті похідної функції. Дослідження проблеми площі призвело до створення інтегрального числення, яке базується на понятті антипохідної або інтеграла функції. Похідна функції та інтеграл функції тісно пов’язані. Як похідна функції, так і інтеграл функції визначаються за допомогою більш фундаментального поняття — границя.

Із даних, отриманих під час випробування, проведеного на прототипі маглева (потяга на магнітній підвісці), який рухається по прямій монорейковій колії, інженери визначили, що положення маглева (у сантиметрах) від початку координат у момент часу $t$ (в секундах) задано:

$s=f(t)=4t^2$ , $0 \leq t \leq30$ (1),
де $f$ називається функцією положення маглева. Положення маглева в момент часу $t =0, 1, 2, 3, . . . , 10$ , виміряне від початкового положення, становить

$f(0)=0,~ f(1)=4,~ f(2)=16,~f(3)=36,...,f(10)=400$
сантиметрів (рис. 2).

Рисунок 2
Припустимо, ми хочемо знайти швидкість маглева в момент $t=2$ . Це значення швидкості маглева, яке відображене на його спідометрі у цей конкретний момент часу. Обчислення цієї величини за допомогою лише рівняння (1) видається неможливим завданням; але подумайте, які величини ми можемо обчислити за допомогою цього співвідношення. Очевидно, що ми можемо обчислити положення маглева у будь-який момент $t$ , як ми робили раніше для деяких вибраних значень $t$ . Використовуючи ці значення, ми можемо обчислити середню швидкість маглева за певний проміжок часу. Наприклад, середня швидкість потяга на проміжку часу $[2;~ 4]$ визначається так:

$\frac{Подолана~ відстань}{Витрачений~час} = \frac{f(4)-f(2)}{4-2} =\frac{4(4^2)-4(2^2)}{2} =\frac{64-16}{2} =24$ ,
або $24$ см/год.
Хоча це не зовсім швидкість маглева в момент часу $t = 2$ , це дає нам наближення до його швидкості у цей час.
Чи можемо ми виконати це завдання краще? Інтуїтивно зрозуміло, що чим менший інтервал часу ми виберемо (з $t = 2$ як лівої кінцевої точки), тим більше середня швидкість за цей проміжок часу наближатиметься до фактичної швидкості маглева при $t = 2$ .
Тепер опишемо цей процес загальними термінами. Нехай $t > 2$ . Тоді середня швидкість маглева за проміжок часу $[2;~ t]$ обчислюється за формулою:

$\frac{f(t)-f(2)}{t-2} = \frac{4t^2-4(2^2)}{t-2} = \frac{4(t^2-4)}{t-2}$ (2).
Вибираючи значення $t$ все ближче і ближче до $2$ , ми отримуємо послідовність чисел, які дають середні швидкості маглева за все менші й менші проміжки часу. Як ми вже помітили раніше, ця послідовність чисел повинна наближатися до миттєвої швидкості потяга в $t = 2$ .
Спробуємо виконати деякі прикладні обчислення. Використовуючи рівняння (2) і вибираючи послідовність значень t $2,5;~ 2,1;~ 2,01;~ 2,001$ та $2,0001$ , яка наближається до $2$ , ми отримаємо:
середня швидкість за проміжок часу $[2;~ 2,5]$ становить $18$ сантиметрів за секунду;
середня швидкість за проміжок часу $[2; 2,1]$ становить $16,4$ сантиметрів за секунду
і так далі.
Ці результати узагальнені в таблиці 1.

З таблиці 1 ми бачимо, що середня швидкість маглева, здається, наближається до числа 16, оскільки вона обчислюється за все менші проміжки часу. Ці обчислення показують, що миттєва швидкість потяга в момент $t=2$ становить $16$ сантиметрів за секунду.
Примітка. Зауваж, що ми не можемо отримати миттєву швидкість для маглева при $t= 2$ , підставляючи $t=2$ у рівняння (2), оскільки це значення $t$ не належить області визначення функції середньої швидкості.
Розглянемо функцію $g$ , визначену так:

$g(t)= \frac{4(t^2-4)}{t-2}$ ,
яка зображує середню швидкість маглева (див. рівняння (2)). Припустимо, ми повинні визначити значення, до якого $g(t)$ наближається, коли $t$ наближається до (фіксованого) числа $2$ . Якщо ми візьмемо послідовність значень $t$ , що наближаються до $2$ , з правого боку, як ми робили раніше, ми бачимо, що $g(t)$ наближається до числа $16$ . Подібним чином, якщо ми візьмемо послідовність значень $t$ , що наближаються до $2$ зліва, наприклад $t=1,5; 1,9; 1,99; 1,999$ і $1,9999$ , ми отримаємо результати, наведені в таблиці 2.

Зверни увагу, що $g(t)$ наближається до числа $16$ , коли $t$ наближається до $2$ — цього разу з лівого боку. Іншими словами, коли $t$ наближається до $2$ з обох сторін від $2$ , $g(t)$ наближається до $16$ . У цій ситуації ми говоримо, що границя $g(t)$ , коли $t$ прямує до $2$ , дорівнює $16$ , записується $\lim\limits_{x \rightarrow2 }g(t)= \lim\limits_{x \rightarrow2 }\frac{4(t^2-4)}{t-2}=16.$
Графік функції $t$ , зображений на рисунку 3, підтверджує це спостереження.

Рисунок 3
Зверни увагу, що точка $t=2$ не належить області визначення функції $t$ (з цієї причини точка $(2;~ 16)$ відсутня на графіку $t$ ). Проте це не важливо, оскільки значення $g(t)$ при $t=2$ , якщо таке є, не впливає на обчислення границі.
Цей приклад приводить до наступного неформального означення.
Функція $f$ має границю $L$ , коли $x$ прямує до $a$ , записується як $\lim \limits_{x \rightarrow a}f(x)=L$ , якщо значення $f(x)$ можна зробити як завгодно близьким до числа $L$ , взявши $x$ достатньо близьким до (але не рівним) $a$ .
Розглянемо приклад обчислення границі. Нехай $f(x) =x^3$ — і обчислимо $\lim\limits_{x \rightarrow2 }f(x)$ .
Розв’язання. Графік функції $f$ показаний на рис. 4.

Рисунок 4
Ти можеш побачити, що $f(x)$ можна наблизити до числа $8$ як завгодно, взявши $x$ достатньо близьким до $2$ . Таким чином, $\lim\limits_{x \rightarrow2 }x^3=8$ .

Джерело: Applied Mathematics: For the Managerial, Life, and Social Sciences (5th Edition). Tan S.T.

Метод оцінювання: Краща оцінка.