Математика jul_2024_10_3: Знайомимось із аркфункціями | Smartosvita LMS

Знайомимось із аркфункціями

А тепер поговоримо про обернені тригонометричні функції.

Ми знаємо, що тригонометричні функції кути перетворюють у числа:

Тоді обернені функції «повертають назад» — перетворюють числа на кути:

Розглянемо функцію $y=\sin(x)$ . Ця функція на всій множині дійсних чисел не є монотонною, оскільки кожного свого значення набуває в нескінченній множині точок. Для введення функції, оберненої до функції $y=\sin(x)$ , розглянемо один із проміжків монотонності цієї функції, що містить точку $0$ , а саме $[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]$ . На цьому проміжку функція зростає, набуває усіх своїх значень від $-1$ до $1$ , отже, є оборотною. Функцію, обернену до функції $y=\sin(x)$ , де $x\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ , називають арксинусом і позначають $y=\arcsin(x)$ .

Розглянемо функцію $y=\cos(x)$ на $x\in[0;\pi]$ . На цьому проміжку вона є спадною, а тому є оборотною. Функцію, обернену до функції $y=\cos(x)$ , де $x\in[0;\pi]$ , називають арккосинусом і позначають $y=\arccos(x)$ .

Розглянемо функцію $y= tg(x)$ , яка монотонно зростає на проміжку $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$ На цьому проміжку вона набуває кожного свого значення з множини дійсних чисел тільки один раз, тому є оборотною. Функцію, обернену до функції $y=tg(x)$ , де $x\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , називають арктангенсом і позначають $y=arctg(x)$ .

Функція $y=ctg(x)$ на проміжку $(0; \pi)$ монотонно спадає і кожного свого значення набуває тільки один раз, тому є оборотною. Функцію, обернену до функції $y=ctg(x)$ , де $x\in (0;\pi)$ , називають арккотангенсом і позначають $y=arcctg(x)$ .

Властивості аркфункцій

Джерело: О.С. Істер, О.В. Єргіна. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1223-algebra-10-klas-ister.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.