Математика jul_2024_10_3: Як працюють обернені операції | Smartosvita LMS

Як працюють обернені операції

Перш ніж переходити до функцій, поговоримо про відношення, тобто взаємозв’язки (чи перетворення) між множинами.

Дослідимо відношення, обернене даному. Розглянемо елементи множин $X$ та $Y$ , між якими встановлено відношення $p$ і зображене за допомогою стрілок.

А тепер поміняємо напрямок стрілок і отримаємо нове відношення $q$ між елементами множини $Y$ і елементами множини $X$ .

Говорять, що $q$ є відношення, обернене (зворотне) до відношення $р$ . Відповідно відношення $р$ є оберненим до відношення $q$ .

Розглянемо приклад, де задане відношення р між елементами множин $A$ і $B$ . Дане відношення є функцією, оскільки кожному елементу множини $A$ відповідає не більше ніж один елемент множини $B$ .

Зобразимо відношення $q$ , яке є оберненим до відношення $р$ :

Відношення $q$ не буде функцією, оскільки елементу $2$ множини $B$ відповідає більше ніж один елемент множини $A$ (елементи $5$ і $6$ ).

Приклад

Дано відношення $f$ між елементами множин $X$ та $Y$ , а також обернене йому відношення $g$ між елементами множин $Y$ та $X$ . Визначити, чи є відношення функціями.

Оскільки для обох відношень характерно те, що кожному елементу множини $X$ відповідає не більше ніж один елемент множини $Y$ і навпаки, кожному елементу множини $Y$ відповідає не більше ніж один елемент множини $X$ , можемо стверджувати, що відношення $f$ та відношення $g$ є функціями.

Функція $f$ називається оберненою, якщо обернене їй відношення також є функцією.

Функцію $y=f(x), x∈X$ називають оберненою, якщо вона набуває будь-якого свого значення тільки в одній точці множини $X$ (інакше кажучи, якщо різним значенням аргументу відповідають різні значення функції).

Простими словами: обернена функція «повертає все назад», тобто значенням $y$ ставить у відповідність значення $x$ .

Теорема Якщо функція $y=f(x), x∈X$ монотонна на множині $X$ , то вона обернена. Нехай $y=f(x), x∈X$ — обернена функція та $E(f)=Y$ . Поставимо у відповідність кожному $y$ з $Y$ єдине значення $x$ , за якого $f(x)=y$ (тобто єдиний корінь рівняння відносно змінної $x$ ). Тоді отримаємо функцію, яка визначена на $Y$ , а $X$ — область її значень. Цю функцію позначають $x=f^{−1}(y),y∈Y$ і називають оберненою по відношенню до функції $y=f(x), x∈X$ .

Особливості оберненої функції

Будь-яка зростаюча функція є оберненою.

Функція, яка обернена до зростаючої функції, є зростаючою.

Будь-яка спадна функція є оберненою.

Функція, яка обернена до спадної функції, є спадною.

Якщо деяке відношення $f$ задане рівнянням з двома змінними $x$ і $y$ , то для задання рівнянням відношення, оберненого до $f$ , достатньо в цьому рівнянні поміняти позначення $x$ на $y$ та $y$ на $x$ .

Розглянемо кілька функцій:

1. Наприклад, до функції $y = 3x - 2$ оберненою буде $y=\frac{x+2}{3}$ . Ця функція буде оберненою до даної. Такі функції є взаємно оберненими. Графіки таких функцій будуть симетричними відносно прямої $y = x$ :

2. $y=2x$ , оберненою функцією буде $x= \frac{1}2y$ . По-іншому обернену функцію можна записати так: $g(x)=\frac{1}2x$ .

3. $y=\frac{1}3x-2,5$ , оберненою функцією буде $x=3(y+2,5)$ або $g(x)=3(x+2,5)$

4. $y=x^2$

Наявність оберненої функції залежить від області визначення. Так, на проміжку $(–∞; +∞)$ оберненої функції не існує, проте на проміжку $[0; +∞ )$ обернена функція існує. І це $x=\sqrt{y}$ i $x=- \sqrt{y}$ . Аналогічно: $g(x)=\sqrt{x}$ або $g(x)=-\sqrt{x}$ .

Джерела:

1. https://bankchart.com.ua/education/mathematics/algebra/oberneni_funktsiyi_ta_vidnoshennya_prikladi_urok_15#2
2. https://www.miyklas.com.ua/

Метод оцінювання: Краща оцінка.