Математика jul_2024_10_3: Похідна степеня | Smartosvita LMS

Похідна степеня

Похідною функції $f$ у точці $x_0$ називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції $f$ у точці $x_0$ до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

$f'(x_0)=\lim_\limits{ \Delta x \rightarrow0 }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Як працює похідна:

Знайдемо похідну функції $f(x) = x^2$ .

Знайдемо похідну функції $f$ у точці $x_0$ , де $x_0$ — довільна точка області визначення функції $f$ .

$\Delta f = f (x_0+\Delta x)−f (x_0)= (x_0+\Delta x)^2 −(x_0)^2= 2x_0\Delta x +\Delta x^2$ ;

$\frac{ \Delta f }{ \Delta x} = \frac{2x_0\Delta x +\Delta x^2}{ \Delta x} =2x_0 +\Delta x$ ;

Якщо $\Delta x \rightarrow 0$ , то при будь-якому дійсному $x_0$ значення виразу $2x_0 +\Delta x$ прямує до числа $2x_0$ .

Отже,

$f'(x_0)=\lim_\limits{\Delta x \rightarrow 0 } (2x_0+\Delta x)=2x_0$ .

Оскільки $x_0$ — довільна точка області визначення функції $f(x) = x^2$ , то для будь-якого дійсного $x$ виконується рівність $f'(x) =2x$ .

Таким чином,

$\left(x^2\right)'=2x$ .

Похідна діє так:

Випадок з $x^2$ можна узагальнити:

$(x^n)'=nx^{n-1}$ .

Розглянемо похідні:

$\left(\frac{1}{x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=\frac{-1}{x^2}$

$\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$

$\left(\sqrt{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

У тих точках, у яких є диференційовною функція $y = f(x)$ , також є диференційовною функція $y = kf(x)$ , де $k$ — деяке число, причому для всіх таких точок виконується рівність $(kf)'(x) = kf'(x)$ . Коротко кажуть: постійний множник можна виносити за знак похідної. Також прийнято такий спрощений запис: $(kf)' = kf'$ .

Приклад. $(3x^2)' = 3(x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$

Джерело: А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Математика: підручник для 10-го класу. 2018 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1153-matematyka-10-klas-merzlyak.html

Картинки взято з мережі.

Метод оцінювання: Краща оцінка.