Математика jul_2024_10_3: Метод піднесення обох частин ірраціонального рівняння до одного й того самого степеня | Smartosvita LMS

Метод піднесення обох частин ірраціонального рівняння до одного й того самого степеня

Основний метод зведення ірраціональних рівнянь до раціональних полягає у відокремленні радикала і піднесенні обох частин рівняння до одного й того самого степеня. При цьому слід пам’ятати, що при піднесенні обох частин рівняння до непарного степеня утворюється рівносильне йому рівняння, а при піднесенні до парного степеня — рівняння-наслідок. В останньому випадку можуть з’явитися сторонні корені. Щоб їх виключити, потрібно простежити за рівносильністю всіх перетворень, що досягається за допомогою змішаних систем, або виконати перевірку.

Приклад 1. Розв’язати рівняння $x-4=\sqrt{x+8}$ .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і здобудемо $x^{2}-8 x+16=x+8, \quad x^{2}-9 x+8=0, \quad x=1 \quad$ або $\quad x=8$ . Перевірка показує, що число $1$ — сторонній корінь.

Відповідь: $8$ .

Дане рівняння можна розв’язувати іншим способом, враховуючи рівносильність усіх перетворень:

$\begin{aligned} & x-4=\sqrt{x+8} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { ( x - 4 ) ^ { 2 } = x + 8 , } \\ { x - 4 \geq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^{2}-9 x+8=0, \\ x \geq 4 \end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \\ & \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} x=1, \\ x=8, \end{array}\right.} \\ x \geq 4 ; \end{array} \Rightarrow x=8 .\right. \end{aligned}$

Відповідь: $8$ .

Приклад 2. Розв’язати рівняння $\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=2$ .

Відокремимо радикал $\sqrt{x+3}$ :

$\begin{aligned} & \sqrt{x+3}=2+\sqrt{7-x} \Leftrightarrow(\sqrt{x+3})^{2}=(2+\sqrt{7-x})^{2} \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow x+3=4+4 \sqrt{7-x}+7-x \Leftrightarrow 2 x-8=4 \sqrt{7-x} \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow(2 x-8)^{2}=(4 \sqrt{7-x})^{2} \Leftrightarrow 4 x^{2}-32 x+64=16(7-x) \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow 4 x^{2}-16 x-48=0 \Leftrightarrow x^{2}-4 x-12=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x=6, \\ x=-2 \end{array}\right. \end{aligned}$

Перевірка підтверджує лише число $x=6$ . Число $-2$ — сторонній корінь.

Відповідь: $6$ .

Приклад 3. Розв’язати рівняння $\sqrt{4 x+3}+\sqrt{3 x-1}=4$ .

Застосовуючи схему рівносильних перетворень, дістанемо:

$\sqrt{4 x+3}+\sqrt{3 x-1}=4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(\sqrt{4 x+3}+\sqrt{3 x-1})^{2}=16, \\ x \geq \frac{1}{3} ;\end{array} \Leftrightarrow\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x+3+2 \sqrt{4 x+3} \sqrt{3 x-1}+3 x-1=16 \\ x \geq \frac{1}{3}\end{array} \Leftrightarrow\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}7 x+2+2 \sqrt{(4 x+3)(3 x-1)}=16 \\ x \geq \frac{1}{3}\end{array} \Leftrightarrow\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 \sqrt{12 x^{2}+5 x-3}=14-7 x, \\ x \geq \frac{1}{3} ;\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4\left(12 x^{2}+5 x-3\right)=(14-7 x)^{2}, \\ x \geq \frac{1}{3}, \\ 14-7 x \geq 0 ;\end{array} \Leftrightarrow\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x ^ { 2 } - 2 1 6 x + 2 0 8 = 0 , } \\ { x \geq \frac { 1 } { 3 } , } \\ { x \leq 2 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=108 \pm 8 \sqrt{179}, \\ \frac{1}{3} \leq x \leq 2 ; \end{array} \Leftrightarrow x=108-8 \sqrt{179}\right.\right. \text {. }$

Відповідь: $x=108-8 \sqrt{179}$ .

Приклад 4. Розв’язати рівняння $\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}=0$ .

Відокремимо радикали і піднесемо обидві частини рівняння до 6-го степеня.

$\sqrt[3]{x+7}=\sqrt{x+3}$ $(x+7)^{2}=(x+3)^{3}$ $x^{2}+14 x+49=x^{3}+9 x^{2}+27 x+27$ $x^{3}+8 x^{2}+13 x-22=0$ .

Розв’язавши отримане рівняння, дістанемо $x=1$ .

Перевіркою встановлюємо, що $x=1$ є коренем даного рівняння.

Відповідь: $1$ .

Приклад 5. Розв’язати рівняння $\sqrt[3]{x-44}=9$ .

Підносимо обидві частини рівняння до третього степеня. Це непарний степінь, отже, сторонні корені не з’являться. $\sqrt[3]{x-44}=9 \Leftrightarrow x-44=9^{3} \Leftrightarrow x-44=729 \Leftrightarrow x=773.$

Відповідь: $773$ .

Джерело: Математика. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх сис- М 34 теми : практикум / уклад. : Н.П. Муранова, Л.А. Харченко, Г.В. Шевченко, О.С. Муранов. – 2-е вид., стер. – К. : НАУ, 2012. – 96 с

Метод оцінювання: Краща оцінка.

Accessibility

Background Colour

Font Face

Font Kerning

Font Size

1

Image Visibility

Letter Spacing

0

Line Height

1.2

Link Highlight

Text Colour