Математика jul_2024_10_3: Розв’язання ірраціональних рівнянь за допомогою ОДЗ | Smartosvita LMS

Розв’язання ірраціональних рівнянь за допомогою ОДЗ

Ірраціональними називаються рівняння, в яких невідома величина знаходиться під знаком кореня (радикала) або під знаком дії піднесення до дробового показника степеня.

Основним методом розв’язування ірраціональних рівнянь є перетворення їх на раціональні рівняння.

При розв’язуванні ірраціональних рівнянь використовуються теореми:

Теорема 1. Рівняння вигляду $\sqrt[2 n]{f(x)}=a$ рівносильне сукупності систем

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a \geq 0, \\ f(x)=a^{2 n}, \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} a\lt0, \\ x \in \varnothing. \end{array}\right. \end{array}\right.$

Теорема 2. Рівняння вигляду $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ рівносильне системі

$\left\{\begin{array} { l } { f ( x ) = g ( x ), } { f ( x ) \geq 0, } \end{array} \text { або } \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x), g(x) \geq 0. \end{array}\right.\right.$

3 двох систем вибирається та, яка простіше розв’язується.

Теорема 3. Рівняння вигляду $\sqrt[2 n]{f(x)}=g(x)$ рівносильне системі $\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0, \\ f(x)=(g(x))^{2 n}.\end{array}\right.$

Теорема 4. Рівняння вигляду $\sqrt[2 n+1]{f(x)}=g(x)$ рівносильне рівнянню $f(x)=(g(x))^{2 n+1}$ .

Теорема 5. Рівняння вигляду $\sqrt[2 n]{f(x)} \cdot g(x)=0$ рівносильне сукупності систем $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x)>0 \\ g(x)=0,\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}f(x)=0, \\ x \in D(g) .\end{array}\right.\end{array}\right.$

Теорема 6. Рівняння вигляду $\frac{\sqrt[2 n]{f(x)}}{g(x)}=0$ рівносильне системі $\left\{\begin{array}{l}f(x)=0 \\ g(x) \neq 0\end{array}\right.$

Теорема 7. Рівняння вигляду $\frac{g(x)}{\sqrt[2 n]{f(x)}}=0$ рівносильне системі $\left\{\begin{array}{l}g(x)=0 \\ f(x)>0.\end{array}\right.$

Звучить складно, проте насправді все не так страшно. Розпочнемо із ОДЗ.

Областю визначення рівняння, або областю його допустимих значень (ОДЗ), називається множина значень невідомого, при яких мають зміст його ліва і права частини.

В одних випадках знаходження ОДЗ є корисним для розв’язання рівнянь, в інших задача визначення ОДЗ є складною і непотрібною.

Радикали парного степеня є арифметичними, тобто $\sqrt[2 n]{a} \geq 0$ , якщо $a \geq 0$ . Радикали непарного степеня визначені при будь-якому дійсному значенні підкореневого виразу. Виходячи з цих властивостей, у ряді випадків можна розв’язати ірраціональні рівняння без перетворень.

Приклад 1. Розв’язати рівняння $\sqrt{3 x-4}=-2$ .

Ця рівність неправильна, бо $\sqrt{3 x-4} \geq 0$ (за означенням арифметичного квадратного кореня). Отже, дане рівняння коренів не має.

Приклад 2. Розв’язати рівняння $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}+3=0$ .

$\sqrt{x} \geq 0, \sqrt{x-1} \geq 0, \sqrt{x-2} \geq 0,3>0$ . Отже, значення лівої частини рівняння більше від $0$ , точніше $\geq 4+\sqrt{2}$ , і ніяк не може дорівнювати $0$ .

Відповідь: $x \in \varnothing$ .

Приклад 3. Розв’язати рівняння $\sqrt{x^{2}+x-6}+\sqrt{x^{2}-4}=0$ .

$\sqrt{x^{2}+x-6} \geq 0, \sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ . Отже, дана рівність можлива тільки

за умови $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}+x-6}=0, \\ \sqrt{x^{2}-4}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}x=-3, \\ x=2, \\ x= \pm 2 .\end{array}\right.}\end{array} \Rightarrow x=2\right.\right.$ ,

Відповідь: $2$ .

Приклад 4. Розв’язати рівняння $\sqrt[4]{4-x}=3 x+\sqrt{x-5}$ .

Знайдемо ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}4-x \geq 0, \\ x-5 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq 4, \\ x \geq 5\end{array} \Rightarrow x \in \varnothing\right.\right.$ .

Маємо: ОДЗ даного рівняння — це порожня множина, отже, розв’язувати рівняння немає потреби.

Відповідь: $\varnothing$ .

Приклад 5. Розв’язати рівняння $\sqrt{x-3} \sqrt{x+2} \sqrt{x-6}=0$ .

Маємо добуток, що дорівнює нулю. Отже,

$\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x - 3 } = 0 } \\ { \sqrt { x + 2 } = 0, } \\ { \sqrt { x - 6 } = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=3 \\ x=-2 \\ x=6 \end{array}\right.\right.$

Але при $x=3$ вираз $\sqrt{x-6}$ не має змісту, при $x=-2$ корені $\sqrt{x-3}$ і $\sqrt{x-6}$ не існують, отже, числа $3$ і $2$ не є коренями даного рівняння.

Відповідь: $6$ .

Приклад 6. Розв’язати рівняння $\sqrt{x-3} \sqrt{x+2} \sqrt[3]{x-6}=0$ .

Маємо добуток, що дорівнює нулю. Отже,

$\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x - 3 } = 0 } \\ { \sqrt { x + 2 } = 0 , } \\ { \sqrt [3]{ x - 6 } = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=3 \\ x=-2 \\ x=6 \end{array}\right.\right.$

Але при $x=-2$ не існує $\sqrt{x-3}$ . Вираз $\sqrt[3]{x-6}$ існує і при $x=-2$ , і при $x=3$ , бо підкореневий вираз кореня непарного степеня може набувати будь-яких дійсних значень.

Відповідь: $3$ ; $6$ .

Джерело: Математика. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх сис- М 34 теми : практикум / уклад. : Н.П. Муранова, Л.А. Харченко, Г.В. Шевченко, О.С. Муранов. – 2-е вид., стер. – К. : НАУ, 2012. – 96 с

Метод оцінювання: Краща оцінка.