Математика jul_2024_10_3: Скалярний добуток векторів. Умова перпендикулярності векторів | Smartosvita LMS

Скалярний добуток векторів. Умова перпендикулярності векторів

Досі ми множили вектори лише на числа. Виявляється, що можна множити і вектор на вектор, але результатом такого множення буде не вектор, а число (скаляр), тому таке множення називають скалярним добутком.
Перед тим, як розглядати скалярний добуток, розберемося, що таке кут між векторами.
Нехай $\vec{a}$ і $\vec{b}$ — два ненульовi вектори. Від довільної точки $O$ відкладемо вектори $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$ , відповідно рівні векторам $\vec{a}$ і $\vec{b}$ . Величину кута $\angle AOB$ називатимемо кутом між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}$ і позначатимемо $\angle(\vec{a}$ , $\vec{b})$ .

Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \angle(\vec{a}, \vec{b})$

Якщо відомі координати $\vec{a}(a_1;a_2)$ , $\vec{b}(b_1;b_2)$ , то скалярний добуток також можна обчислити за формулою:

$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2.$

Для векторів $\vec{a}(a_1;a_2;a_3)$ та $\vec{b}(b_1;b_2;b_3)$ у просторі скалярний добуток обчислюється за аналогічною формулою:

$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3.$

Скалярний добуток допомагає легко перевірити, чи два вектори перпендикулярні. З останніх формул випливає, що два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

_{Теорію впорядкували Савчин Марія та Грибель Ольга.}

Джерела:

А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. Шкільні підручники онлайн. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_geometrija_merzljak_2017.pdf

О. С. Істер. Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. URL: https://pidruchnyk.com.ua/1031-ister-geometriya-9-klas.html

М. І. Бурда, Н.А. Тарасенкова Геометрія: підручник для 9-го класу. 2017 рік. URL: https://files.pidruchnyk.com.ua/uploads/book/9_klas_geometrija_burda_2017.pdf

Метод оцінювання: Краща оцінка.