Математика jul_2024_8_8: Перша ознака подібності трикутників | Smartosvita LMS

Перша ознака подібності трикутників

Два трикутники подібні, якщо у них:
— всі їхні кути рівні;
— відношення довжин відповідних сторін рівні.
Але нам не обов’язково знати всі три сторони і всі три кути... Зазвичай достатньо двох або трьох із шести.

Існує три способи визначити, чи подібні два трикутники: $AA$ , $SAS$ і $SSS$ .

$AA$
$AA$ означає «кут, кут (angle, angle)» і полягає в тому, що два кути трикутників рівні.

Теорема (перша ознака рівності трикутників). Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Приклад. Ці два трикутники подібні:

Якщо два кути рівні, то третій кут також має бути рівним, оскільки сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ$ .

У цьому випадку кут, якого не вистачає, дорівнює $180^\circ - (72^\circ + 35^\circ) = 73^\circ$ .

Отже, AA також можна назвати AAA (тому що коли два кути рівні, то треті кути обов’язково є рівними).

$SAS$

$SAS$ розшифровується як «сторона, кут, сторона (side, angle, side)» і означає, що якщо у двох трикутників відношення двох пар сторін рівні, а кути, утворені цими сторонами, також рівні, то трикутники подібні.

Теорема (друга ознака рівності трикутників). Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

Приклад.

У цьому прикладі ми бачимо, що:
$\frac{AC}{ZX}= \frac{21}{14}= \frac{3}{2}$

$\frac{AB}{XY}=\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

між ними є відповідний кут $75°$ .

Отже, ці два трикутники подібні.

$SSS$

$SSS$ розшифровується як «сторона, сторона, сторона (side, side, side)» і означає, що ми маємо два трикутники, у яких відношення довжин трьох пар відповідних сторін рівні.

Теорема (третя ознака рівності трикутників). Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Приклад.

У цьому прикладі відношення сторін такі:

$\frac{BC}{YZ}=\frac{6}{7,5}=\frac{12}{15}= \frac{4}{5}$
$\frac{AC}{XZ}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
$\frac{AB}{XY}=\frac{4}{5}$
Усі ці відношення рівні, отже, два трикутники подібні.

Теорію розробила Дубей Наталія.

Джерела: Геометрія : підруч. для 8 кл. закладів заг. серед. освіти / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — 2-ге видання, переробл. — Х. : Гімназія, 2021. — 208 с. : іл.
https://www.mathsisfun.com/geometry/triangles-similar-finding.html

Метод оцінювання: Краща оцінка.